Questão 42 da UFG 2008

Question

Considere que a Estação Espacial Internacional, de massa M, descreve uma órbita elíptica estável em torno da Terra, com um período de revolução T e raio médio R da órbita. Nesse movimento,

A
o período depende de sua massa.
B
a razão entre o cubo do seu período e o quadrado do raio médio da órbita é uma constante de movimento.
C
o módulo de sua velocidade é constante em sua órbita.
D
a energia mecânica total deve ser positiva.
E
a energia cinética é máxima no perigeu.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 da UFG 2008

Prova objetiva · Física: Leis de Kepler

Considere que a Estação Espacial Internacional, de massa M, descreve uma órbita elíptica estável em torno da Terra, com um período de revolução T e raio médio R da órbita. Nesse movimento,

A
o período depende de sua massa.
B
a razão entre o cubo do seu período e o quadrado do raio médio da órbita é uma constante de movimento.
C
o módulo de sua velocidade é constante em sua órbita.
D
a energia mecânica total deve ser positiva.
E
a energia cinética é máxima no perigeu.

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Resolução comentada

Para uma órbita elíptica estável, valem as leis de Kepler e a conservação da energia mecânica. Vamos testar cada afirmação.

Período e massa: pela 3ª lei de Kepler, T^2 = \frac{4\pi^2}{GM_T}R^3, onde M_T é a massa da Terra. A massa M da estação não aparece, então o período não depende dela.
Razão entre T^3 e R^2: a constante de Kepler é \frac{T^2}{R^3}. A razão \frac{T^3}{R^2} não é constante, pois a relação correta é entre o quadrado do período e o cubo do raio.
Velocidade constante: isso só ocorreria em órbita circular. Na elipse, pela 2ª lei (áreas iguais em tempos iguais), a velocidade varia: é maior perto da Terra e menor longe dela.
Energia mecânica positiva: num sistema ligado (órbita fechada), E = E_c + E_p < 0, pois E_p = -\frac{GM_TM}{r}. Energia positiva corresponderia a trajetória aberta, de escape.
Energia cinética máxima no perigeu: o perigeu é o ponto mais próximo da Terra, onde a velocidade é máxima (2ª lei de Kepler). Como E_c = \frac{1}{2}Mv^2, a energia cinética também é máxima ali. Isso é coerente com a conservação de energia: a energia potencial é a menor possível no perigeu.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B engana por inverter os expoentes da 3ª lei de Kepler, que relaciona T^2 com R^3.

Por que as outras alternativas estão erradas

APela 3ª lei de Kepler o período depende da massa da Terra e do raio, não da massa da estação.
BTroca os expoentes: a constante de Kepler é T^2/R^3, não T^3/R^2.
CVelocidade constante só vale para órbita circular; na elipse ela varia (2ª lei de Kepler).
DÓrbita ligada tem energia mecânica total negativa; positiva seria trajetória aberta.

Assuntos: Leis de Kepler, Gravitação universal e satélites.

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Questão 42 no caderno 1ª etapa da UFG 2008

Fonte: UFG 2008 · 1ª etapa. Prova oficial ↗