Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2014

Question

Um navio, que possui 20 m de altura sobre a água, passa por um canal e, em certo momento, o capitão da embarcação avista uma ponte plana sobre o canal, a qual ele desconhece as dimensões e tem de decidir se o navio pode passar sob a ponte. Para isso, ele inicia uma série de cálculos e medições. A primeira constatação que ele faz é a de que, a uma certa distância, d, da projeção da base da ponte, a inclinação do segmento que une a parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais avançado do navio, que está a 4 m de altura sobre a água, é de 7^\circ. Percorridos 102 m em linha reta em direção à ponte, ele volta a medir a inclinação, obtendo um ângulo de 10^\circ, e verifica que a distância entre a parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais avançado do navio é de 100 m, como ilustra a figura a seguir.

Diante do exposto, admitindo que a superfície do rio é plana, determine a altura da ponte e conclua se esta é suficiente para que o navio passe sob ela.

Dados: \textit{tg}(7^\circ)=0{,}12 e \textit{cos}(10^\circ)=0{,}98

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2014

1º semestre · 1º dia · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Um navio, que possui 20 m de altura sobre a água, passa por um canal e, em certo momento, o capitão da embarcação avista uma ponte plana sobre o canal, a qual ele desconhece as dimensões e tem de decidir se o navio pode passar sob a ponte. Para isso, ele inicia uma série de cálculos e medições. A primeira constatação que ele faz é a de que, a uma certa distância, d, da projeção da base da ponte, a inclinação do segmento que une a parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais avançado do navio, que está a 4 m de altura sobre a água, é de 7^\circ. Percorridos 102 m em linha reta em direção à ponte, ele volta a medir a inclinação, obtendo um ângulo de 10^\circ, e verifica que a distância entre a parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais avançado do navio é de 100 m, como ilustra a figura a seguir.

Diante do exposto, admitindo que a superfície do rio é plana, determine a altura da ponte e conclua se esta é suficiente para que o navio passe sob ela.

Dados: \textit{tg}(7^\circ)=0{,}12 e \textit{cos}(10^\circ)=0{,}98

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Seja d a distância entre o ponto mais avançado do navio e a projeção da base da ponte sob a água e h+4 a altura da ponte, como mostra a figura a seguir.

[Figura: Diagrama geométrico em perspectiva mostrando um barco na água se aproximando de uma ponte. A altura total do barco é indicada como 20, e a altura do casco é 4. A partir da proa do barco, traça-se uma linha horizontal pontilhada de comprimento d até a vertical da ponte, e uma linha contínua até o topo da altura h da ponte com ângulo de elevação de 7°. O barco avança uma distância horizontal de 102, de onde parte outro segmento de reta com inclinação de 10° e comprimento 100 até a ponte. A altura da ponte acima dessa linha de referência é h, com indicação de ângulo reto.]

A inclinação do segmento de reta que une a parte mais avançada do navio e a parte inferior da ponte é de 7^\text{o} e percorridos 102\text{ m} esta inclinação é de 10^\text{o} e a distância entre o ponto mais avançado do navio e a parte inferior da ponte é de 100\text{ m}. Desta forma, obtêm-se que

\tan(7^\text{o}) = \frac{h}{d} = 0{,}12 \Rightarrow h = 0{,}12 \times d

e

\cos(10^\text{o}) = \frac{d-102}{100} = 0{,}98 \Rightarrow d = 200.

Logo, h = 200 \times 0{,}12 = 24\text{ m}. Assim, a altura da ponte é de 28\text{ m}. Portanto, como o navio tem 20\text{ m} de altura, conclui-se que este pode passar sob a ponte. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Vamos usar os dois triângulos retângulos da figura, todos medidos a partir da linha horizontal que passa pela proa, a 4 m da água.

No segundo triângulo, a hipotenusa mede 100 m e o ângulo é de 10^\circ. A distância horizontal até a projeção da ponte é

100\cdot\cos 10^\circ = 100\cdot 0{,}98 = 98\ \text{m}.
O navio andou 102 m até esse ponto. A distância horizontal total da posição inicial até a ponte é

d = 102 + 98 = 200\ \text{m}.
No triângulo maior, o ângulo de 7^\circ dá

h = d\cdot \text{tg}\,7^\circ = 200\cdot 0{,}12 = 24\ \text{m}.

Esse h é a altura da ponte acima do nível da proa, que está a 4 m da água. Em relação à superfície da água, a parte inferior da ponte fica a

24 + 4 = 28\ \text{m}.

Conclusão: o navio tem 20 m de altura sobre a água e 28 > 20, então ele passa sob a ponte com folga de 8 m. Mesmo comparando só com h = 24 m, o ponto mais alto do navio fica 16 m acima da proa, e 16<24, o que leva à mesma conclusão.

A ponte está a 24 m acima do nível da proa (28 m acima da água), e o navio, com 20 m, consegue passar.

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

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Questão 14 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2014

Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 1º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗