Questão 5 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

Question

O violão é um instrumento musical que tem seis cordas que vibram entre dois pontos fixos, sendo um deles no rastilho e o outro em algum traste, conforme ilustra a figura a seguir. Os trastes são fixados no braço do violão e possibilitam variar o comprimento da corda vibrante. Quando a corda é pressionada na primeira casa, por exemplo, ela vibra entre o rastilho e o segundo traste. Sendo assim, uma corda pode produzir sons com diferentes frequências fundamentais, que podem ser organizadas em uma sequência \{f_1, f_2, f_3, \dots, f_n, \dots\}, onde n é o número do traste correspondente. Nessa sequência, o valor da frequência f_n é igual ao valor da frequência f_{n-1}, multiplicado por uma constante. Além disso, o décimo terceiro traste situa-se no ponto médio entre o primeiro traste e o rastilho.

Ilustração de um violão indicando o rastilho, o 1º traste, o 2º traste, a 1ª casa e a 2ª casa

Com base no exposto, determine:

a) a velocidade de uma onda transversal em uma corda de 70 cm de comprimento para o primeiro harmônico que vibra com frequência f_1 = 44\text{ Hz};

(2,0 pontos)

b) a razão entre a frequência f_1 e aquela produzida quando se pressiona a corda na sexta casa.

(3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2013

2º semestre · 2º dia · Física: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros

O violão é um instrumento musical que tem seis cordas que vibram entre dois pontos fixos, sendo um deles no rastilho e o outro em algum traste, conforme ilustra a figura a seguir. Os trastes são fixados no braço do violão e possibilitam variar o comprimento da corda vibrante. Quando a corda é pressionada na primeira casa, por exemplo, ela vibra entre o rastilho e o segundo traste. Sendo assim, uma corda pode produzir sons com diferentes frequências fundamentais, que podem ser organizadas em uma sequência \{f_1, f_2, f_3, \dots, f_n, \dots\}, onde n é o número do traste correspondente. Nessa sequência, o valor da frequência f_n é igual ao valor da frequência f_{n-1}, multiplicado por uma constante. Além disso, o décimo terceiro traste situa-se no ponto médio entre o primeiro traste e o rastilho.

Ilustração de um violão indicando o rastilho, o 1º traste, o 2º traste, a 1ª casa e a 2ª casa

Com base no exposto, determine:

a) a velocidade de uma onda transversal em uma corda de 70 cm de comprimento para o primeiro harmônico que vibra com frequência f_1 = 44\text{ Hz};

(2,0 pontos)

b) a razão entre a frequência f_1 e aquela produzida quando se pressiona a corda na sexta casa.

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) A velocidade da onda é v = \lambda_1 \cdot f_1, além disso para o harmônico fundamental tem-se que \lambda_1 = 2 \cdot 0{,}70 = 1{,}40\text{ m}.

Sendo assim, obtem-se que: v = 1{,}40 \cdot 44 = 61{,}6\text{ m/s}

(2,0 pontos)

b) Como as frequências consecutivas estão relacionadas por uma razão constante, a sequência é uma progressão geométrica. Logo f_n = f_1 \cdot a^{n-1}, ainda, como exposto no texto, segue que:

f_{13} = f_1 \cdot a^{12} = f_1 \cdot 2 logo a^{12} = 2 \rightarrow a = 2^{1/12}. Com isso, tem-se que:

\frac{f_1}{f_7} = \frac{f_1}{f_1 \cdot a^6} = \frac{1}{\left(2^{\frac{1}{12}}\right)^6} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Na corda presa nas duas extremidades, o primeiro harmônico (fundamental) forma meio comprimento de onda entre os pontos fixos:

L=\frac{\lambda}{2}\ \Rightarrow\ \lambda = 2L = 2\cdot 0{,}70 = 1{,}40\ \text{m}

A velocidade da onda é dada por:

v=\lambda f_1 = 1{,}40\cdot 44 = 61{,}6\ \text{m/s}

Resposta: v = 61{,}6\ \text{m/s}.

b) A frequência f_n corresponde à corda vibrando entre o rastilho e o n-ésimo traste. Então f_1 é a corda solta (comprimento L), e a corda pressionada na casa k vibra até o traste k+1. Assim, a sexta casa corresponde ao sétimo traste, ou seja, à frequência f_7.

Como f_n = q\,f_{n-1}, a sequência é uma progressão geométrica de razão q:

f_n = f_1\, q^{\,n-1}

O 13º traste fica no ponto médio entre o 1º traste e o rastilho. Nele a corda vibra com comprimento L/2. Como f = v/(2\ell) (com v constante), a frequência dobra: f_{13}=2f_1. Então:

f_{13}=f_1 q^{12}=2f_1\ \Rightarrow\ q^{12}=2\ \Rightarrow\ q=2^{1/12}

Para o sétimo traste:

f_7=f_1 q^{6}=f_1\cdot 2^{6/12}=\sqrt{2}\,f_1

Logo:

\frac{f_1}{f_7}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}71

Resposta: f_1/f_7 = \sqrt{2}/2 \approx 0{,}71.

Assunto: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros.

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Questão 5 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗