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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2013

1º semestre · 1º dia · Física: Refração da luz e lei de Snell

Refratômetro é um instrumento ótico utilizado para medir o índice de refração de uma substância e também para determinar a concentração de certas substâncias, como, por exemplo, o açúcar em um fluido qualquer. A figura ilustra o protótipo de um refratômetro constituído por um prisma de índice de refração 1,6, um orifício no qual entra a luz de análise e uma cavidade para colocar o material líquido a ser analisado. Nessas condições, um feixe de luz monocromático, ao entrar pelo orifício, refrata na interface prisma-líquido e atinge a escala graduada em um ponto a 4 cm da origem.

Esquema de um refratômetro composto por um prisma de base triangular com ângulo de 45° e um orifício posicionado a L/2 da borda esquerda de largura total L. Um feixe de luz vertical entra pelo orifício, atravessa o prisma e incide na interface inclinada com a cavidade do líquido, refratando-se e atingindo uma escala graduada a uma distância perpendicular h.

Considerando-se que \text{L} = 12\text{ cm} e h = \sqrt{2}, calcule:

a) O índice de refração do líquido sob análise. (2,0 pontos)

b) O menor índice de refração que esse instrumento permite medir. (3,0 pontos)

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a)

O feixe entra perpendicularmente à face superior do prisma, sem sofrer desvio nessa entrada. Como a interface prisma–líquido faz 45^\circ com a vertical, o ângulo de incidência, medido em relação à normal, é i=45^\circ.

Sejam P o ponto de incidência e O a origem da escala, situada sobre a normal à interface que passa por P. A escala é paralela à interface e está à distância h=\sqrt{2}\ \text{cm} dela. Assim, para o ângulo de refração r:

\tan r=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.

No triângulo retângulo formado pelo raio refratado, pela normal e pela escala, a hipotenusa mede \sqrt{4^2+(\sqrt{2})^2}=3\sqrt{2}\ \text{cm}. Portanto,

\sen r=\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

Aplicando a lei de Snell:

n_p\sen i=n_\ell\sen r \quad\Rightarrow\quad n_\ell=\frac{1{,}6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=1{,}2.

O índice de refração do líquido é n_\ell=1{,}2.

b)

Pela lei de Snell, quanto menor o índice do líquido, maior o ângulo refratado. Portanto, o menor índice mensurável corresponde ao raio que atinge a extremidade inferior esquerda da escala.

Vamos determinar a distância dessa extremidade até a origem O. O ponto de incidência P está a L/2=6\ \text{cm} da borda esquerda. Como a normal faz 45^\circ com a horizontal, o deslocamento horizontal de P até O vale h/\sqrt{2}. Logo, a distância horizontal entre a borda esquerda e O é

x_O=\frac{L}{2}+\frac{h}{\sqrt{2}}=6+1=7\ \text{cm}.

A escala também está inclinada a 45^\circ, de modo que seu comprimento útil, a partir da origem, é

s_{\max}=\frac{x_O}{\cos45^\circ}=7\sqrt{2}\ \text{cm}.

Assim, o maior ângulo de refração satisfaz

\sen r_{\max}=\frac{s_{\max}}{\sqrt{s_{\max}^2+h^2}} =\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{98+2}}=\frac{7\sqrt{2}}{10}.

Aplicando novamente a lei de Snell:

n_{\min}=\frac{1{,}6\sen45^\circ}{\sen r_{\max}} =\frac{1{,}6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}} =\frac{8}{7}.

O menor índice de refração mensurável é n_{\min}=\frac{8}{7}\approx1{,}14.

Assuntos: Refração da luz e lei de Snell, Reflexão total e dispersão da luz.

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Ver como caiu na prova Questão 11 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2013

Fonte: UFG 2ª etapa 2013 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗