Questão 12 (1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2008

Question

No texto da prova de Língua Portuguesa, há a citação de que, daqui a mil anos, “o espaço estará crivado de aeronaves, cujo aperfeiçoamento garantirá um mínimo de accidentes, constituindo grande commodidade sem ameaça de perigo”.

Partindo da data de hoje, considere que, daqui a mil anos, um avião, voando a uma altura H com uma velocidade horizontal v_h, sofra uma pane que o faz perder sua propulsão e, por isso, comece a cair com aceleração constante g. Um dos dispositivos de segurança com que o avião será dotado permitirá que, após perder 80\% de sua altura, seja ejetado verticalmente para baixo o contêiner de bagagens e combustível, cuja massa é 2/3 da massa total do avião. A velocidade da parte ejetada é igual a 3/2 da velocidade vertical deste, imediatamente antes da ejeção. Considere que todas as velocidades citadas são dadas em relação a um referencial inercial fixo na Terra. Desprezando a resistência do ar e a ação de forças externas na ejeção, calcule:

a) a redução percentual da velocidade vertical do avião;
(2,0 pontos)

b) a razão entre a distância horizontal percorrida pelo avião com o mecanismo de segurança ativado e a distância que ele percorreria sem ativar este dispositivo.
(3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2008

1º dia · Física: Impulso e quantidade de movimento

No texto da prova de Língua Portuguesa, há a citação de que, daqui a mil anos, “o espaço estará crivado de aeronaves, cujo aperfeiçoamento garantirá um mínimo de accidentes, constituindo grande commodidade sem ameaça de perigo”.

Partindo da data de hoje, considere que, daqui a mil anos, um avião, voando a uma altura H com uma velocidade horizontal v_h, sofra uma pane que o faz perder sua propulsão e, por isso, comece a cair com aceleração constante g. Um dos dispositivos de segurança com que o avião será dotado permitirá que, após perder 80\% de sua altura, seja ejetado verticalmente para baixo o contêiner de bagagens e combustível, cuja massa é 2/3 da massa total do avião. A velocidade da parte ejetada é igual a 3/2 da velocidade vertical deste, imediatamente antes da ejeção. Considere que todas as velocidades citadas são dadas em relação a um referencial inercial fixo na Terra. Desprezando a resistência do ar e a ação de forças externas na ejeção, calcule:

a) a redução percentual da velocidade vertical do avião;
(2,0 pontos)

b) a razão entre a distância horizontal percorrida pelo avião com o mecanismo de segurança ativado e a distância que ele percorreria sem ativar este dispositivo.
(3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Conservação do momento vertical: Mv_y = \frac{1}{3} Mv_{ya} + \frac{2}{3} M \frac{3}{2} v_y, logo Mv_{ya} = 0 \Rightarrow v_{ya} = 0, então a velocidade vertical do avião foi reduzida em 100%.

(2,0 pontos)

b) O tempo de queda do avião para a altura H seria t_q = \sqrt{\frac{2H}{g}} e seu alcance R = v_H \sqrt{\frac{2H}{g}}.

Ao cair 0,8H, gastou um tempo t_d = \sqrt{\frac{1{,}6H}{g}} e percorreu a distância horizontal d = v_H \sqrt{\frac{1{,}6H}{g}}.

O tempo de queda do avião, após o acionamento do dispositivo, de uma altura 0,2H é t_{disp} = \sqrt{\frac{0{,}4H}{g}} e a distância horizontal percorrida d_{disp.} = v_H \sqrt{\frac{0{,}4H}{g}}.

O alcance do avião é R_{total} = d + d_{disp} = v_H \sqrt{\frac{1{,}6H}{g}} + v_H \sqrt{\frac{0{,}4H}{g}}. Portanto:

\frac{R_{total}}{R} = \frac{\sqrt{1{,}6} + \sqrt{0{,}4}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \Rightarrow \frac{R_{Disp.}}{R} = 0{,}6\sqrt{5}

(3,0 pontos)

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O avião começa a cair a partir do repouso na vertical, com aceleração g. Depois de perder 80\% da altura, ou seja, de cair 0{,}8H, a velocidade vertical é, por Torricelli:

v^2 = 2g(0{,}8H) \Rightarrow v=\sqrt{1{,}6\,gH}

Na ejeção só há forças internas e a ejeção é vertical. Por isso a quantidade de movimento vertical do sistema se conserva. Seja M a massa total. O contêiner tem massa \frac{2M}{3} e sai com \frac{3v}{2} para baixo. O avião restante tem massa \frac{M}{3} e fica com velocidade vertical v':

Mv=\frac{2M}{3}\cdot\frac{3v}{2}+\frac{M}{3}v' \Rightarrow Mv = Mv+\frac{M}{3}v' \Rightarrow v'=0

O avião fica com velocidade vertical nula, então a redução é de \dfrac{v-0}{v}=100\%.

Redução de 100\%.

b) Como a ejeção é vertical, a velocidade horizontal v_h não muda. A distância horizontal é v_h multiplicado pelo tempo total de queda.

Sem o dispositivo: o tempo de queda é t=\sqrt{\dfrac{2H}{g}} e o alcance é A=v_h\,t.

Com o dispositivo:

Tempo para cair 0{,}8H: t_1=\sqrt{\dfrac{2(0{,}8H)}{g}}=\sqrt{0{,}8}\,t.
Depois da ejeção, a velocidade vertical é nula e restam 0{,}2H de altura. O tempo é t_2=\sqrt{\dfrac{2(0{,}2H)}{g}}=\sqrt{0{,}2}\,t=\dfrac{t_1}{2}.
Tempo total: t_1+t_2=\dfrac{3}{2}t_1=\dfrac{3}{2}\sqrt{0{,}8}\,t.

A razão entre os alcances é então:

\frac{A'}{A}=\frac{3}{2}\sqrt{0{,}8}=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}\approx 1{,}34

Razão =\dfrac{3}{\sqrt5}\approx 1{,}34.

Assuntos: Impulso e quantidade de movimento, Queda livre e lançamento vertical, Lançamento horizontal e oblíquo.

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Questão 12 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2008

Fonte: UFG 2ª etapa 2008 · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗