PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 31 (1º exame) da UERJ 2020

1º exame · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

O gráfico a seguir representa a função periódica definida por f(x) = 2\sen(x), x \in \text{R}. No intervalo \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \right], A e B são pontos do gráfico nos quais f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f\left(\frac{5\pi}{2}\right) são valores máximos dessa função.

Gráfico no plano cartesiano da função periódica em rosa com o retângulo ABCD destacado em azul claro. O retângulo tem base DC sobre o eixo x, com vértices D em pi/2 e C em 5pi/2, e vértices superiores A e B nos pontos de máximo da função. No eixo x também estão indicados os pontos 0, pi/2, pi, 3pi/2, 2pi, 5pi/2 e 3pi.

A área do retângulo ABCD é:

  1. A
    6\pi
  2. B
    5\pi
  3. C
    4\pi
  4. D
    3\pi
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Resolução comentada

A área de um retângulo é base × altura, então precisamos achar essas duas medidas no gráfico.

Altura: os pontos A e B são máximos de f(x)=2\sen(x). O seno vale no máximo 1, então o valor máximo da função é

f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cdot\sen\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cdot 1=2.

Logo, AD = BC = 2, pois D e C estão sobre o eixo x.

Base: D e C têm abscissas \frac{\pi}{2} e \frac{5\pi}{2}. Então

DC=\frac{5\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=\frac{4\pi}{2}=2\pi.

Isso corresponde a um período completo do seno, o que faz sentido, pois A e B são dois máximos consecutivos.

Área:

A = \text{base}\times\text{altura}=2\pi\cdot 2=4\pi.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa base 3\pi ou altura errada, chegando a 6\pi (por exemplo, base 2\pi vezes 3).
  • BNão corresponde a nenhuma combinação correta de base 2\pi e altura 2.
  • DUsa altura 1 (valor máximo do seno sem o fator 2) e/ou base incorreta, obtendo valor menor que o correto.

Assuntos: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 31 no caderno 1º Exame de Qualificação da UERJ 2020

Fonte: UERJ 2020 · 1º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗