Questão 24 (2º exame) da UERJ 2014

2º exame · Matemática

Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano \alpha. Esse plano contém o segmento OV, perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem:

Plano α representado por um paralelogramo azul, contendo o quadrado ABCD, com A e B na parte inferior e D e C na parte superior. O segmento OV parte do centro O do quadrado, atravessa o lado BC perpendicularmente e termina em V, fora do quadrado.

Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano \alpha, como se observa nas imagens:

Quadrado ABCD no plano α e pirâmide ABCDV, com V elevado acima do plano. Um setor circular sombreado representa a rotação do segmento OV a partir de sua posição no plano, com seta indicando o sentido da rotação. O ângulo entre OV e sua posição inicial no plano é indicado por x, junto ao centro O. As arestas VA e VB são contínuas, e VC, VD e os lados posteriores do quadrado são tracejados.

Quadrado ABCD no plano α e pirâmide ABCDV, com V diretamente acima do centro O. O segmento OV é perpendicular ao plano, com marca de ângulo reto em O. Um setor circular sombreado e uma seta representam a rotação desde a posição inicial de OV no plano até a posição vertical. As arestas VA e VB são contínuas, e VC, VD e os lados posteriores do quadrado são tracejados.

Considere as seguintes informações:

• o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro;
• a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo 0 < x \leq \frac{\pi}{2};
• x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano \alpha;
• o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a y.

O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide, em \text{m}^3, em função do ângulo x, em radianos, é:

  1. A
    Gráfico com eixo horizontal x e eixo vertical y. Uma curva azul crescente, com concavidade para baixo, parte de um círculo aberto na origem, indicada por 0, e chega ao ponto de coordenadas (π/2, 1/3). Linhas tracejadas horizontal e vertical ligam esse ponto às marcações 1/3 no eixo y e π/2 no eixo x.
  2. B
    Gráfico com eixo horizontal x e eixo vertical y. Um segmento de reta azul crescente parte de um círculo aberto na origem, indicada por 0, e chega ao ponto de coordenadas (π/2, 1/3). Linhas tracejadas horizontal e vertical ligam esse ponto às marcações 1/3 no eixo y e π/2 no eixo x.
  3. C
    Gráfico com eixo horizontal x e eixo vertical y. Um segmento horizontal azul em y = 1/3 estende-se do eixo y até x = π/2. Uma linha tracejada vertical liga sua extremidade direita à marcação π/2 no eixo x. A origem, indicada por 0, apresenta um círculo aberto.
  4. D
    Gráfico com eixo horizontal x e eixo vertical y. Uma curva azul crescente, com concavidade para cima, parte de um círculo aberto na origem, indicada por 0, e chega ao ponto de coordenadas (π/2, 1/3). Linhas tracejadas horizontal e vertical ligam esse ponto às marcações 1/3 no eixo y e π/2 no eixo x.
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Resolução comentada Em breve: a resolução passo a passo desta questão.
Ver como caiu na prova Questão 24 no caderno 2º Exame de Qualificação da UERJ 2014

Fonte: UERJ 2014 · 2º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗