Questão 1 (Nível 1) da OBMEP 2023

Question

Joana só pode retirar uma lata da pilha se não houver nenhuma lata apoiada sobre ela. Qual é o menor número de latas que ela precisa retirar antes de pegar a lata azul indicada pela seta?

A
5
B
6
C
7
D
8
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da OBMEP 2023

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Joana só pode retirar uma lata da pilha se não houver nenhuma lata apoiada sobre ela. Qual é o menor número de latas que ela precisa retirar antes de pegar a lata azul indicada pela seta?

A
5
B
6
C
7
D
8
E
9

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Solução oficial da OBMEP

Solução: Para Joana retirar uma lata da pilha, ela deve, antes, retirar todas as outras latas que se apoiam na primeira, sempre que houver latas apoiadas. Há duas latas apoiadas na lata azul, as quais, por sua vez, são apoio de outras duas latas, e assim por diante até se chegar à lata do topo da pilha. Note que, apesar de a lata azul estar na camada mais inferior da pilha, nem todas as latas das camadas superiores precisam ser retiradas, pois não se apoiam na lata azul, nem em uma lata que se apoia na azul. Por isso, as latas marcadas com um X devem ser removidas antes de se remover a lata azul.

[Figura: Duas ilustrações de pilhas de latas. À esquerda, a pilha triangular completa com 15 latas distribuídas em cinco camadas (5 latas na base, depois 4, 3, 2 e 1 lata no topo); a quarta lata da base (da esquerda para a direita) é mais escura (azul) e 7 latas acima dela estão marcadas com um X preto (a lata do topo, as 2 da quarta camada, as 2 da direita na terceira camada e as 2 sobre a lata azul na segunda camada). À direita, a pilha restante com 8 latas após a remoção das 7 latas marcadas com X.]

Removidas as latas marcadas com um X, a pilha fica como na segunda figura acima.

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Resolução comentada

Numere as posições de cada fileira da esquerda para a direita. Na base há 5 latas (posições 1 a 5), e a azul é a de posição 4.

Uma lata da fileira de cima se apoia sobre duas latas vizinhas da fileira de baixo. Assim, a lata de posição k numa fileira fica sob as latas de posições k-1 e k da fileira acima.

Vamos ver quais latas estão sobre a azul:

Fileira 2 (4 latas): a azul (posição 4) sustenta as latas 3 e 4. São 2 latas.
Fileira 3 (3 latas): a lata 3 da fileira 2 sustenta as latas 2 e 3, e a lata 4 sustenta as latas 3 e 4 (que não existe, pois só há 3). Então as latas 2 e 3 estão por cima. São 2 latas.
Fileira 4 (2 latas): as latas 2 e 3 da fileira 3 sustentam as latas 1 e 2 da fileira 4. São 2 latas.
Fileira 5 (1 lata): a lata de cima está sobre as duas latas da fileira 4. É 1 lata.

Total a retirar: 2+2+2+1=7 latas.

Conferindo pela figura: ficam de fora só as latas à esquerda, que não estão sobre a azul (fileira 2: posições 1 e 2; fileira 3: posição 1). Total de latas acima da base: 4+3+2+1=10, menos 3 que ficam, dá 7.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta só as latas diretamente acima da azul em algumas fileiras, esquecendo as que se apoiam nas latas retiradas.
BDeixa de contar uma das latas que se apoiam sobre as retiradas, como a da fileira 4.
DConta uma lata a mais, incluindo uma que não está sobre a azul.
ERetira todas as latas das fileiras acima da base menos poucas, contando latas à esquerda que não bloqueiam a azul.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 1. Prova oficial ↗