Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2009

Question

Um número inteiro n é simpático quando existem inteiros positivos a, b e c tais que a < b < c e n = a^2 + b^2 - c^2. Por exemplo, os números 1 e 2 são simpáticos, pois 1 = 4^2 + 7^2 - 8^2 e 2 = 5^2 + 11^2 - 12^2.

(a) Verifique que (3x + 1)^2 + (4x + 2)^2 - (5x + 2)^2 é igual a 2x + 1, qualquer que seja x.

(b) Encontre números inteiros m e n tais que (3x - m)^2 + (4x - n)^2 - (5x - 5)^2 = 2x, qualquer que seja x.

(c) Mostre que o número 4 é simpático.

(d) Mostre que todos os números inteiros positivos são simpáticos.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2009

Nível 2 · Matemática: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração

Um número inteiro n é simpático quando existem inteiros positivos a, b e c tais que a < b < c e n = a^2 + b^2 - c^2. Por exemplo, os números 1 e 2 são simpáticos, pois 1 = 4^2 + 7^2 - 8^2 e 2 = 5^2 + 11^2 - 12^2.

(a) Verifique que (3x + 1)^2 + (4x + 2)^2 - (5x + 2)^2 é igual a 2x + 1, qualquer que seja x.

(b) Encontre números inteiros m e n tais que (3x - m)^2 + (4x - n)^2 - (5x - 5)^2 = 2x, qualquer que seja x.

(c) Mostre que o número 4 é simpático.

(d) Mostre que todos os números inteiros positivos são simpáticos.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Lembrando que (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, podemos simplificar a expressão (3x+1)^2 + (4x+2)^2 - (5x+2)^2 como segue:

(3x+1)^2 + (4x+2)^2 - (5x+2)^2 = 9x^2 + 6x + 1 + 16x^2 + 16x + 4 - 25x^2 - 20x - 4

= (9+16-25)x^2 + (6+16-20)x + (1+4-4) = 2x+1.

b) Aqui temos

(3x-m)^2 + (4x-n)^2 - (5x-5)^2 = -(6m+8n-50)x + (m^2+n^2-25) = 2x

e desse modo devemos encontrar inteiros m e n tais que m^2+n^2-25=0 e -(6m+8n-50)=2, isto é, m^2+n^2=25 e 3m+4n=24. A primeira equação (que também pode ser obtida pela substituição x=0 na identidade) tem as possíveis soluções em números inteiros:

m	0	\pm 3	\pm 4	\pm 5
n	\pm 5	\pm 4	\pm 3	0

Verificação direta mostra que apenas os valores m=4 e n=3 satisfazem a segunda equação.

c) Do enunciado temos 4^2+7^2-8^2=1. Multiplicando esta expressão por 2^2, obtemos 2^2 4^2 + 2^2\cdot 7^2 - 2^2 8^2 = 4, ou seja, 8^2+14^2-16^2=4, o que mostra que 4 é simpático. Outras expressões são 4=5^2+10^2-11^2 = 6^2+7^2-9^2 = 7^2+22^2-23^2 e, mais geralmente, 4=(3k+4)^2+(4k+2)^2-(5k+4)^2 para k>2.

d) Vamos dividir o argumento para números ímpares e pares.

Números ímpares: seja n=2k+1 um número ímpar maior que 1, ou seja, com k>0. O item (a) mostra que fazendo a=3k+1, b=4k+2 e c=5k+2 temos n=a^2+b^2-c^2. Notamos que a<b<c; de fato, a<b é imediato e b<c decorre de k>0. Como já sabemos que 1 é simpático, segue que todo número ímpar positivo é simpático.

Números pares: seja n=2k um número par maior que 4, ou seja, com k>2. Aqui o item (b) mostra que fazendo a=3k-4, b=4k-3 e c=5k-5 temos n=a^2+b^2-c^2. Notamos que a<b<c; de fato, a<b vem do fato de k ser positivo e b<c decorre de k>2. Como já sabemos que 2 e 4 são simpáticos, segue que todo número par positivo é simpático. Concluímos então que todos os inteiros positivos são simpáticos.

Uma curiosidade aqui é uma fórmula geral (entre outras) que mostra que todo número positivo n é simpático:

n = (n+3)^2 + \left(\frac{n^2+5n+8}{2}\right)^2 - \left(\frac{n^2+5n+8}{2}+1\right)^2.

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Resolução comentada

a) Desenvolvendo cada quadrado:

(3x+1)^2 = 9x^2+6x+1

(4x+2)^2 = 16x^2+16x+4

(5x+2)^2 = 25x^2+20x+4

Somando os dois primeiros e subtraindo o terceiro:

(25x^2+22x+5)-(25x^2+20x+4)=2x+1.

O resultado vale para todo x. Logo a expressão é igual a 2x+1.

b) Desenvolvendo:

(3x-m)^2+(4x-n)^2-(5x-5)^2=(50-6m-8n)x+(m^2+n^2-25).

Para que isso seja igual a 2x para todo x, os coeficientes devem coincidir:

m^2+n^2-25=0, ou seja, m^2+n^2=25;
50-6m-8n=2, ou seja, 3m+4n=24.

Testando m=4 e n=3: 16+9=25 e 12+12=24. Os dois coeficientes batem. m=4 e n=3.

c) Procuramos a<b<c com a^2+b^2-c^2=4. Tomando x=2 no item (b), obtemos 6-4=2, 8-3=5 e 10-5=5. Isso daria 2^2+5^2-5^2=4, mas b=c, e a condição b<c falha. Por isso tentamos c=b+1:

a^2+b^2-(b+1)^2=a^2-2b-1=4 \Rightarrow a^2=2b+5.

Com a=5, temos b=10 e c=11, e 5<10<11. Conferindo: 25+100-121=4. Logo 4 é simpático, pois 4=5^2+10^2-11^2.

d) Separamos os inteiros positivos em ímpares e pares.

Ímpares. Pelo item (a), 2x+1=(3x+1)^2+(4x+2)^2-(5x+2)^2. Para x\ge 1, os números 3x+1<4x+2<5x+2 são inteiros positivos. Isso cobre todos os ímpares 3,5,7,\dots. O número 1 é simpático pelo enunciado.

Pares. Pelo item (b), 2x=(3x-4)^2+(4x-3)^2-(5x-5)^2. Para x\ge 3, temos 3x-4>0 e 3x-4<4x-3. Também 4x-3<5x-5, pois x>2. Isso cobre todos os pares 6,8,10,\dots. Os pares 2 e 4 são simpáticos pelo enunciado e pelo item (c).

Portanto todo inteiro positivo é simpático. Todo inteiro positivo é simpático.

Assuntos: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração, Equações do 1º grau e problemas.

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