Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2007

Question

A calculadora do Dodó tem uma tecla especial com o símbolo 🗲. Se o visor mostra um número x diferente de 2, ao apertar 🗲 aparece o valor de \frac{2x - 3}{x - 2}.

Ilustração de uma calculadora com visor exibindo o número 4 e uma tecla especial com o símbolo de raio na parte inferior

(a) Se o Dodó colocar 4 no visor e apertar 🗲, qual número vai aparecer?

(b) Dodó colocou um número no visor e, ao apertar 🗲, apareceu o mesmo número. Quais são os números que ele pode ter colocado no visor?

(c) Dodó percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando 🗲 duas vezes, aparece de novo o 4; da mesma forma, colocando o 5 e apertando 🗲 duas vezes, aparece de novo o 5. O mesmo vai acontecer para qualquer número diferente de 2? Explique.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

A calculadora do Dodó tem uma tecla especial com o símbolo 🗲. Se o visor mostra um número x diferente de 2, ao apertar 🗲 aparece o valor de \frac{2x - 3}{x - 2}.

Ilustração de uma calculadora com visor exibindo o número 4 e uma tecla especial com o símbolo de raio na parte inferior

(a) Se o Dodó colocar 4 no visor e apertar 🗲, qual número vai aparecer?

(b) Dodó colocou um número no visor e, ao apertar 🗲, apareceu o mesmo número. Quais são os números que ele pode ter colocado no visor?

(c) Dodó percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando 🗲 duas vezes, aparece de novo o 4; da mesma forma, colocando o 5 e apertando 🗲 duas vezes, aparece de novo o 5. O mesmo vai acontecer para qualquer número diferente de 2? Explique.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Se o Dodó colocar um número x \neq 2 no visor e apertar ☇, aparece o valor de f(x) = \frac{2x-3}{x-2}. Logo, para x = 4, o valor que vai aparecer é f(4) = \frac{2 \times 4 - 3}{4 - 2} = \frac{5}{2} = 2{,}5.

b) Seja b o número que o Dodó colocou no visor. Ao apertar ☇, apareceu o número f(b) = \frac{2b-3}{b-2}, que o enunciado nos diz que é igual a b. Logo \frac{2b-3}{b-2} = b, donde 2b-3 = b(b-2), ou seja, b^2 - 4b + 3 = 0. Essa equação tem as raízes b = 1 e b = 3, que são os números que o Dodó pode ter colocado no visor.

c) Seja b \neq 2 o número que o Dodó colocou no visor. Ao apertar ☇ duas vezes, aparece o número

f(f(b)) = \frac{2f(b)-3}{f(b)-2} = \frac{2\frac{2b-3}{b-2}-3}{\frac{2b-3}{b-2}-2} = \frac{\frac{4b-6-3b+6}{b-2}}{\frac{2b-3-2b+4}{b-2}} = b

É importante notar que o Dodó pode apertar ☇ uma segunda vez. De fato, a equação f(b) - 2 = 0 não tem solução, ou seja, o denominador da expressão após o primeiro sinal de igualdade acima é sempre diferente de 0. De fato, se existisse b tal que f(b) - 2 = 0, teríamos \frac{2b-3}{b-2} = 2 e, portanto, -3 = -4, um absurdo. Logo, ao apertar ☇ nunca aparece o 2 no visor, e é sempre possível apertar ☇ uma segunda vez.

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Resolução comentada

a) Basta substituir x=4 em \frac{2x-3}{x-2}:

\frac{2\cdot 4-3}{4-2}=\frac{5}{2}

Aparece 2{,}5 no visor.

a) resposta: \frac{5}{2}=2{,}5

b) O número que sai deve ser igual ao que entrou, então x=\frac{2x-3}{x-2}, com x\neq 2. Multiplicando por x-2:

x(x-2)=2x-3
x^2-2x=2x-3
x^2-4x+3=0
(x-1)(x-3)=0, logo x=1 ou x=3.

Conferindo: \frac{2-3}{1-2}=1 e \frac{6-3}{3-2}=3. Os dois funcionam.

b) resposta: 1 ou 3

c) Sim, vale para qualquer x\neq 2. Seja y=\frac{2x-3}{x-2} o resultado da primeira vez.

Primeiro, vale checar que a segunda aplicação é possível, ou seja, que y\neq 2. Se y=2, teríamos 2x-3=2x-4, o que é impossível. Então y nunca é 2.

Agora calculamos, com um denominador comum:

2y-3=\frac{4x-6-3(x-2)}{x-2}=\frac{x}{x-2},\qquad y-2=\frac{2x-3-2(x-2)}{x-2}=\frac{1}{x-2}

Assim:

\frac{2y-3}{y-2}=\frac{x/(x-2)}{1/(x-2)}=x

Apertar 🗲 duas vezes devolve o número original. Isso confirma os casos do enunciado: 4\to\frac52\to4 e 5\to\frac73\to5.

c) resposta: sim, para todo x\neq 2, pois \frac{2y-3}{y-2}=x.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Equação do 2º grau.

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Questão 1 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗