PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do ITA 2023

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Aproximações numéricas: \log 2 \approx 0{,}30, \log 3 \approx 0{,}48 e \ln 10 \approx 2{,}3.

Um corpo de massa m é lançado em um plano horizontal sem atrito, sob ação da gravidade g, e, ao entrar em um tubo, executa uma trajetória circular de raio R. A força exercida no corpo pelo tubo logo após o início do movimento circular tem intensidade F. Após meia volta, o corpo percorre uma trajetória retilínea em movimento uniforme até certa distância e depois sobe até certa altura h. O corpo sai do tubo em movimento vertical e imediatamente passa a se mover dentro de um fluido viscoso até atingir altura máxima H, conforme mostra a figura. Considere que o corpo se desloca pelo tubo sem atrito; que o diâmetro do tubo é desprezível em relação a R, h e H; e que o módulo do trabalho realizado pela força de atrito viscoso até a massa atingir H é equivalente a um terço da energia cinética da partícula, quando esta adentra o fluido.

Esquema de um corpo que se move para a direita sobre um plano horizontal e entra em um tubo que faz meia volta circular de raio R, passando a um trecho retilíneo horizontal acima do plano inicial. Na extremidade esquerda desse trecho, o tubo se curva para cima e desemboca verticalmente em um recipiente sombreado contendo fluido viscoso. Uma seta vertical indica a altura h entre o trecho horizontal superior do tubo e sua saída no fluido; outra indica a altura máxima H, medida a partir desse mesmo trecho horizontal. Linhas tracejadas marcam esses níveis. Uma seta vertical para baixo representa o vetor gravidade g.

Assinale a alternativa que expressa H em função das variáveis fornecidas.

  1. A
    \dfrac{1}{3}\left(h-4R+\dfrac{FR}{mg}\right).
  2. B
    \dfrac{1}{6}\left(4h-5R+\dfrac{FR}{mg}\right).
  3. C
    \dfrac{1}{3}\left(h-5R+\dfrac{FR}{mg}\right).
  4. D
    \dfrac{1}{6}\left(2h-3R+\dfrac{FR}{mg}\right).
  5. E
    \dfrac{1}{6}\left(h-2R+\dfrac{FR}{mg}\right).
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Passo a passo, usando energia.

1. Velocidade na entrada do tubo. Logo após entrar, o corpo está na parte de baixo da circunferência, com a velocidade horizontal. A força do tubo é vertical, para cima (rumo ao centro), e o peso aponta para baixo:

F-mg=\frac{mv_0^2}{R}\ \Rightarrow\ mv_0^2=FR-mgR
  1. A energia cinética inicial é E_0=\tfrac12 mv_0^2=\tfrac12(FR-mgR).

2. Energia ao chegar ao trecho reto. Após meia volta, o corpo subiu 2R, sem atrito:

E_1=E_0-mg(2R)=\frac{FR}{2}-\frac{mgR}{2}-2mgR=\frac{FR}{2}-\frac{5mgR}{2}

O trecho reto é horizontal e em movimento uniforme, então E_1 se mantém.

3. Energia ao entrar no fluido. Sobe mais h (a figura mostra h medido a partir do trecho horizontal):

E_2=E_1-mgh=\frac{FR-5mgR}{2}-mgh

4. Dentro do fluido. O corpo sobe até H, ou seja, sobe H-h no fluido. Pelo enunciado, |W_{atrito}|=E_2/3. Ao parar, toda a energia cinética virou potencial e trabalho do atrito:

E_2=mg(H-h)+\frac{E_2}{3}\ \Rightarrow\ mg(H-h)=\frac{2}{3}E_2
H-h=\frac{2}{3mg}\left(\frac{FR-5mgR}{2}-mgh\right)=\frac13\left(\frac{FR}{mg}-5R\right)-\frac{2h}{3}
H=\frac{h}{3}+\frac13\left(\frac{FR}{mg}-5R\right)=\frac13\left(h-5R+\frac{FR}{mg}\right)

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa subida de 4R em vez de 2R na meia volta, errando o termo em R.
  • Bcoeficientes de h e R não saem da conservação de energia com perda de um terço.
  • Dfator 1/6 e termos em h e R incompatíveis com o balanço de energia.
  • Efator 1/6 e -2R vêm de esquecer a altura 2R e de errar a fração da energia.

Assuntos: conservação de energia, dinâmica do movimento circular, trabalho de força dissipativa.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗