PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do ITA 2023

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Aproximações numéricas: \log 2 \approx 0{,}30, \log 3 \approx 0{,}48 e \ln 10 \approx 2{,}3.

Um disco de raio R com centro em O pode girar livremente em um plano horizontal sem atrito em torno de um eixo fixo que passa por O. Uma mola de comprimento natural L tem uma das suas extremidades articuladas a um ponto fixo na parede. Este ponto está localizado a uma distância L do ponto O. A outra extremidade está articulada à borda do disco, em uma posição cujo movimento será analisado a seguir. Inicialmente, a mola se encontra em orientação perpendicular à parede e seu comprimento está reduzido a x = L - R, como mostra a figura. Considere que os pontos A e B são pontos fixos do espaço e que R < L. A seguir, são feitas algumas afirmações sobre esse sistema.

Disco circular de centro O e raio R, à direita de uma parede vertical hachurada. Uma mola horizontal liga a parede ao ponto A, na borda esquerda do disco. O ponto B está na borda direita. A, O e B estão alinhados sobre uma linha horizontal tracejada que se prolonga à direita em uma seta identificada por x. Uma seta do centro O até a borda superior direita indica o raio R. Uma linha de cota abaixo da mola e do disco indica a distância L entre a parede e o centro O.

1. O sistema tem apenas dois pontos de equilíbrio, A e B, sendo ambos instáveis.
2. Se um pequeno torque impulsivo for aplicado ao disco, este último continuará completando voltas indefinidamente, contanto que não haja nenhuma dissipação de energia.
4. Se um pequeno torque impulsivo for aplicado ao disco, este pode não completar uma volta se a sua massa for muito grande e a constante elástica for muito pequena, mesmo sem haver dissipação de energia.
8. Seja C um ponto fixo no espaço a uma distância R de O. Se |\angle AOC| < 30^\circ, C nunca será um ponto de equilíbrio estável.

Assinale a alternativa que contém a soma dos números correspondentes às afirmações verdadeiras.

  1. A
    ( ) 2.
  2. B
    ( ) 3.
  3. C
    ( ) 5.
  4. D
    ( ) 8.
  5. E
    ( ) 10.
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Resolução comentada

O equilíbrio estável corresponde a um mínimo da energia potencial; o instável, a um máximo. Seja \theta=\angle AOC e \ell o comprimento da mola. Pela lei dos cossenos,

\ell^2=L^2+R^2-2LR\cos\theta,

e a energia elástica é
U=\frac{k}{2}(\ell-L)^2.

Em A, \ell=L-R; em B, \ell=L+R. Portanto, nos dois pontos, U=kR^2/2. Ambos são máximos: ao sair deles, a deformação diminui inicialmente.

Mas existem também dois mínimos, nos quais a mola tem comprimento natural, \ell=L. Neles,

\cos\theta=\frac{R}{2L}.

Assim, há quatro equilíbrios, dois estáveis e dois instáveis. A afirmação 1 é falsa.

Como L-R\leq\ell\leq L+R, a energia potencial nunca supera kR^2/2. Um impulso não nulo aplicado em A acrescenta energia cinética, deixando a energia total acima desse máximo. Sem dissipação, o disco nunca para e completa voltas indefinidamente. Logo, 2 é verdadeira e 4 é falsa, independentemente da massa e da constante elástica.

Por fim, R<L implica R/(2L)<1/2. Os equilíbrios estáveis ficam, portanto, a um ângulo maior que 60^\circ de OA, nunca menor que 30^\circ. A afirmação 8 é verdadeira.

A soma é 2+8=10. Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera apenas a afirmação 2 e ignora que a afirmação 8 também é verdadeira.
  • BInclui a afirmação 1, embora existam dois equilíbrios estáveis além de A e B.
  • CInclui as afirmações falsas 1 e 4 e exclui as verdadeiras 2 e 8.
  • DConsidera apenas a afirmação 8 e desconsidera a rotação contínua prevista na afirmação 2.

Assuntos: equilíbrio mecânico, energia potencial elástica, conservação da energia.

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Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗