PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 do ITA 2023

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Aproximações numéricas: \log 2 \approx 0{,}30, \log 3 \approx 0{,}48 e \ln 10 \approx 2{,}3.

A todo instante, raios cósmicos atingem a atmosfera terrestre e colidem com núcleos atômicos. Dessas interações, é formada uma cascata de partículas que permeia nossa atmosfera. Muitas dessas partículas são instáveis, o que significa que, após determinado intervalo de tempo (tempo de vida), elas decaem. Seja um múon criado a uma altitude de 100 km e que se movimenta com uma velocidade vertical em direção ao solo de 0{,}9999c.

Sabendo que seu tempo de vida, em repouso, é de 2{,}2\text{ }\boldsymbol{\mu}\text{s}, a mínima altitude que essa partícula atinge, aproximadamente, é de

  1. A
    0 km.
  2. B
    0,66 km.
  3. C
    46 km.
  4. D
    53 km.
  5. E
    99 km.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O tempo de vida de 2{,}2\ \mu\text{s} vale no referencial do múon. Para quem está na Terra, o tempo dilata: t = \gamma\,t_0, com \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

  1. Fator de Lorentz: 1 - (0{,}9999)^2 = 1 - 0{,}99980001 \approx 2{,}0\times10^{-4}.
  2. \sqrt{2{,}0\times10^{-4}} \approx 1{,}41\times10^{-2}, logo \gamma \approx 70{,}7.
  3. Tempo de vida no referencial da Terra: t = 70{,}7 \times 2{,}2\ \mu\text{s} \approx 155{,}5\ \mu\text{s}.
  4. Distância percorrida: d = v\,t = 0{,}9999 \times 3{,}0\times10^8 \times 155{,}5\times10^{-6} \approx 4{,}66\times10^{4}\ \text{m} \approx 46{,}6\ \text{km}.

O múon começa a 100 km de altitude e percorre cerca de 46 km antes de decair. A altitude mínima é 100 - 46{,}6 \approx 53\ \text{km}.

Sem a dilatação do tempo, a distância seria 3\times10^8 \times 2{,}2\times10^{-6} \approx 660\ \text{m}, e a altitude seria cerca de 99,3 km. Esse seria o resultado clássico, e ele não leva em conta a relatividade.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem esquece a dilatação do tempo, e a C engana quem para na distância percorrida sem subtrair de 100 km.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Asupõe que o múon chega ao solo, o que só ocorreria com um tempo de vida muito maior.
  • Bconfunde a distância percorrida sem dilatação (0,66 km) com a altitude.
  • Cdá a distância percorrida (46 km) e não subtrai de 100 km.
  • Eignora a dilatação do tempo: 100 − 0,66 ≈ 99 km.

Assuntos: dilatação do tempo, relatividade restrita.

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Ver como caiu na prova Questão 12 no caderno 1ª fase do ITA 2023

Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗