Questão 10 do ITA 2023

Question

Considere um sistema de coordenadas x, y, z com respectivos vetores de base \left\{ \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \right\}, sendo z a coordenada vertical. Uma partícula de massa m e carga elétrica de módulo q é colocada em movimento no vácuo, com velocidade \vec{v} = v\sen\theta\hat{j} - v\cos\theta\hat{k}, em um espaço tridimensional. Nesse espaço, existem um campo magnético uniforme, \vec{B} = B\hat{i}, e um campo gravitacional constante, \vec{g} = -g\hat{k}. O ângulo \theta é escolhido de tal forma que a energia cinética da partícula seja conservada.

Dadas essas informações, é possível inferir que a energia cinética da partícula é igual a

A
\frac{m^3 g^2}{q^2 B^2}.
B
\frac{2}{3} \frac{m^3 g^2}{q^2 B^2}.
C
\frac{2m^3 g^2}{q^2 B^2}.
D
\frac{1}{4} \frac{m^3 g^2}{q^2 B^2}.
E
\frac{1}{2} \frac{m^3 g^2}{q^2 B^2}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 do ITA 2023

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2. Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}.

Aproximações numéricas: \log 2 \approx 0{,}30, \log 3 \approx 0{,}48 e \ln 10 \approx 2{,}3.

Considere um sistema de coordenadas x, y, z com respectivos vetores de base \left\{ \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \right\}, sendo z a coordenada vertical. Uma partícula de massa m e carga elétrica de módulo q é colocada em movimento no vácuo, com velocidade \vec{v} = v\sen\theta\hat{j} - v\cos\theta\hat{k}, em um espaço tridimensional. Nesse espaço, existem um campo magnético uniforme, \vec{B} = B\hat{i}, e um campo gravitacional constante, \vec{g} = -g\hat{k}. O ângulo \theta é escolhido de tal forma que a energia cinética da partícula seja conservada.

Dadas essas informações, é possível inferir que a energia cinética da partícula é igual a

A
\frac{m^3 g^2}{q^2 B^2}.
B
\frac{2}{3} \frac{m^3 g^2}{q^2 B^2}.
C
\frac{2m^3 g^2}{q^2 B^2}.
D
\frac{1}{4} \frac{m^3 g^2}{q^2 B^2}.
E
\frac{1}{2} \frac{m^3 g^2}{q^2 B^2}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A energia cinética só se conserva se o trabalho total das forças for nulo. A força magnética nunca realiza trabalho, então o peso também não pode realizar: a velocidade deve ser horizontal, sem componente em z. Isso exige \cos\theta = 0, ou seja, \theta = 90^\circ e \vec{v} = v\hat{j}.

Mas, só com isso, a partícula seria acelerada verticalmente pelo peso. Para que a velocidade continue horizontal, a força resultante na direção z precisa ser nula, ou seja, a força magnética deve equilibrar o peso (movimento retilíneo e uniforme).

Força magnética: \vec{F}_m = q\,\vec{v}\times\vec{B}. Com \vec{v}=v\hat{j} e \vec{B}=B\hat{i}: \hat{j}\times\hat{i} = -\hat{k}, então \vec{F}_m = \mp qvB\,\hat{k}, e o sinal da carga define o sentido. Para equilibrar o peso (-mg\hat{k}), ela deve apontar para cima, com módulo qvB.
Equilíbrio: qvB = mg \Rightarrow v = \dfrac{mg}{qB}.
Energia cinética:

E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\frac{m^2g^2}{q^2B^2} = \frac{1}{2}\frac{m^3g^2}{q^2B^2}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aesquece o fator 1/2 da energia cinética, usando mv^2.
Bfator 2/3 sem qualquer fundamento na dedução.
Cusa 2mv^2 ou erra o fator da energia cinética.
Dfator 1/4 vem de erro algébrico, como v = mg/(2qB).

Assuntos: força magnética, equilíbrio de forças, energia cinética.

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Questão 10 no caderno 1ª fase do ITA 2023

Fonte: ITA 2023 · 1ª fase. Prova oficial ↗