PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 do ITA 2021

1ª fase · Física

Texto-base das questões 01 a 15 · 1ª fase

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes:

Aceleração local da gravidade g=10\text{ m/s}^2. Constante gravitacional universal G=6{,}67\times 10^{-11}\text{ m}^3.\text{kg}^{-1}.\text{s}^{-2}.

Velocidade da luz no vácuo c=3{,}0\times 10^8\text{ m/s}. Constante de Planck reduzida \hbar= 1{,}05\times 10^{-34}\text{ J.s}.

Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\text{ N.A}^{-2}. Carga elétrica elementar e=1{,}6\times 10^{-19}\text{ C}.

Massa do elétron m_0=9{,}1\times 10^{-31}\text{ kg}. Constante eletrostática do vácuo K_0=9{,}0\times 10^9\text{ N.m}^2.C^{-2}.

O sistema de unidades atômicas de Hartree é bastante útil para a descrição de sistemas quânticos microscópicos. Nele, faz-se com que a carga fundamental e, a massa do elétron m_0, a constante eletrostática do vácuo K_0 e a constante de Planck reduzida \hbar sejam todas numericamente iguais à unidade. Assinale a alternativa que contém a ordem de grandeza do valor numérico da velocidade da luz no vácuo c, nesse sistema de unidades.

  1. A
    10^0
  2. B
    10^2
  3. C
    10^4
  4. D
    10^6
  5. E
    10^8
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Nas unidades atômicas, e, m_0, K_0 e \hbar valem 1. Isso define as unidades de carga, massa, energia e ação. Para achar o valor numérico de c, basta formar com essas constantes uma grandeza com dimensão de velocidade e comparar com c.

A velocidade característica do átomo de Bohr é a do elétron na primeira órbita:

v_0=\frac{K_0 e^2}{\hbar}

Essa combinação tem dimensão de velocidade e, nesse sistema, vale 1. Portanto, v_0 é a unidade de velocidade.

O valor de c nesse sistema é a razão c/v_0:

  1. K_0e^2=9{,}0\times10^{9}\cdot(1{,}6\times10^{-19})^2=9{,}0\times10^{9}\cdot 2{,}56\times10^{-38}=2{,}30\times10^{-28}\ \text{J·m}
  2. v_0=\dfrac{2{,}30\times10^{-28}}{1{,}05\times10^{-34}}\approx 2{,}2\times10^{6}\ \text{m/s}
  3. \dfrac{c}{v_0}=\dfrac{3{,}0\times10^{8}}{2{,}2\times10^{6}}\approx 1{,}4\times10^{2}

Esse valor é a inversa da constante de estrutura fina, 1/\alpha\approx137. Sua ordem de grandeza é 10^2.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem mantém o valor de c em m/s; D engana quem para ao calcular v_0\approx 2\times10^6 m/s e não divide c por ele.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe que c também valeria 1, mas só e, m_0, K_0 e \hbar são iguais à unidade.
  • CNão corresponde à razão c/v_0\approx137; é um valor sem base no cálculo.
  • DÉ a ordem de grandeza da velocidade v_0 em m/s, não de c em unidades atômicas.
  • EÉ a ordem de grandeza de c em m/s, sem converter para unidades atômicas.

Assuntos: análise dimensional, unidades atômicas, modelo de Bohr.

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Fonte: ITA 2021 · 1ª fase. Prova oficial ↗