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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Física) do ITA 2018

Física · Física: Força elástica e lei de Hooke

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

G = 7 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{kg.s}^2. Aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2. Velocidade do som no ar = 340\text{ m/s}. Raio da Terra R = 6\ 400\text{ km}. Constante dos gases R = 8{,}3\text{ J/mol.K}. Índice adiabático do ar \gamma = C_P/C_V = 1{,}4.. Massa molecular do ar M_{ar} = 0{,}029\text{ kg/mol}. Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A}^2. Pressão atmosférica 1{,}0\text{ atm} = 100\text{ kPa}. Massa específica da água = 1{,}0\text{ g/cm}^3

Três molas idênticas, de massas desprezíveis e comprimentos naturais \ell, são dispostas verticalmente entre o solo e o teto a 3\ell de altura. Conforme a figura, entre tais molas são fixadas duas massas pontuais iguais. Na situação inicial de equilíbrio, retira-se a mola inferior (ligada ao solo) resultando no deslocamento da massa superior de uma distância d_1 para baixo, e da inferior, de uma distância d_2 também para baixo, alcançando-se nova posição de equilíbrio. Assinale a razão d_2/d_1.

Esquema vertical entre o teto e o solo separados por uma distância de $3\ell$, contendo três molas e duas massas pontuais esféricas intercaladas entre elas.

  1. A
    2
  2. B
    3/2
  3. C
    5/3
  4. D
    4/3
  5. E
    5/4
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Resolução comentada

Chame de k a constante de cada mola e de m cada massa. Na situação inicial, as três molas ocupam 3\ell no total e as massas estão em equilíbrio. Por simetria, cada mola tem o comprimento natural \ell e nenhuma está deformada. Assim, as molas não exercem força e as massas ficam em equilíbrio com o peso sendo equilibrado pelas forças das molas apenas se houver deformação. Isso não funciona (o peso não teria equilíbrio), então as molas estão deformadas. Vamos calcular as deformações.

Sejam x_1 (mola superior), x_2 (do meio) e x_3 (inferior) as deformações, positivas quando alongadas. Como o comprimento total é fixo, x_1+x_2+x_3=0.

Equilíbrio da massa superior (mola superior puxa para cima, mola do meio puxa para baixo se alongada): kx_1 = mg + kx_2.

Equilíbrio da massa inferior: kx_2 + mg = -kx_3, pois a mola inferior alongada puxaria para baixo.

Portanto x_1 - x_2 = mg/k e x_2 - x_3 = -mg/k... Para chegar ao resultado, convém fazer o cálculo com cuidado:

  1. Mola inferior comprimida (empurra a massa para cima) com força F_3=-kx_3. Massa inferior: kx_2 + F_3 = mg para cima, ou seja, kx_2 - kx_3 = mg.
  2. Massa superior: kx_1 - kx_2 = mg.
  3. Somando com x_1+x_2+x_3=0: x_1=x_2+a, x_3=x_2-a, com a=mg/k. Então 3x_2=0 e x_2=0, x_1=a, x_3=-a.

Retirando a mola inferior, restam duas molas e duas massas penduradas. A mola superior sustenta 2mg: alongamento 2a. A do meio sustenta mg: alongamento a.

Posições finais:

  • massa superior desce de a para 2a: d_1=2a-a=a.
  • massa inferior: antes, o alongamento total acima dela era a+0=a. Depois, 2a+a=3a. Logo d_2=3a-a=2a.

Portanto d_2/d_1=2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErra a deformação inicial das molas, ignorando que a do meio está relaxada.
  • CSoma deslocamentos de forma incorreta, sem usar o vínculo de comprimento total fixo.
  • DUsa deformações iniciais erradas para as molas superior e do meio.
  • ENão considera que a mola inferior estava comprimida na situação inicial.

Assuntos: Força elástica e lei de Hooke, Equilíbrio do ponto material.

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Fonte: ITA 2018 · Física. Prova oficial ↗