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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Física) do ITA 2018

Física · Física: Unidades do SI e análise dimensional

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

G = 7 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{kg.s}^2. Aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2. Velocidade do som no ar = 340\text{ m/s}. Raio da Terra R = 6\ 400\text{ km}. Constante dos gases R = 8{,}3\text{ J/mol.K}. Índice adiabático do ar \gamma = C_P/C_V = 1{,}4.. Massa molecular do ar M_{ar} = 0{,}029\text{ kg/mol}. Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A}^2. Pressão atmosférica 1{,}0\text{ atm} = 100\text{ kPa}. Massa específica da água = 1{,}0\text{ g/cm}^3

Considere uma estrela de neutrons com densidade média de 5 \times 10^{14}\text{ g/cm}^3, sendo que sua frequência de vibração radial \nu é função do seu raio R, de sua massa m e da constante da gravitação universal G. Sabe-se que \nu é dada por uma expressão monomial, em que a constante adimensional de proporcionalidade vale aproximadamente 1. Então o valor de \nu é da ordem de

  1. A
    10^{-2}\text{ Hz}.
  2. B
    10^{-1}\text{ Hz}.
  3. C
    10^0\text{ Hz}.
  4. D
    10^2\text{ Hz}.
  5. E
    10^4\text{ Hz}.
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Resolução comentada

Se \nu é uma expressão monomial de R, m e G, escrevemos \nu = R^a\, m^b\, G^c e igualamos as dimensões.

Dimensões: [\nu]=\text{T}^{-1}, [R]=\text{L}, [m]=\text{M} e [G]=\text{L}^3\text{M}^{-1}\text{T}^{-2}.

  1. Tempo: -2c=-1, logo c=\tfrac12.
  2. Massa: b-c=0, logo b=\tfrac12.
  3. Comprimento: a+3c=0, logo a=-\tfrac32.

Assim:

\nu=\sqrt{\frac{Gm}{R^3}}

Como m=\rho\,\tfrac43\pi R^3, o raio some da expressão:

\nu=\sqrt{\tfrac43\pi G\rho}\approx\sqrt{4G\rho}

Agora os valores em unidades do SI. A densidade é \rho=5\times10^{14}\ \text{g/cm}^3=5\times10^{17}\ \text{kg/m}^3.

G\rho=7\times10^{-11}\cdot5\times10^{17}=3{,}5\times10^{7}\ \text{s}^{-2}

Com o fator \tfrac43\pi\approx4{,}2:

\nu^2\approx4{,}2\cdot3{,}5\times10^{7}\approx1{,}5\times10^{8}
\nu\approx1{,}2\times10^{4}\ \text{Hz}

A ordem de grandeza é 10^4\ \text{Hz}. Sem o fator numérico, \sqrt{3{,}5\times10^7}\approx6\times10^3 Hz, que também fica em 10^4 Hz.

Alternativa E.

Pegadinha: A densidade vem em g/cm³: sem converter para kg/m³ (fator 10^3), o resultado sai errado em várias ordens de grandeza.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErro grosseiro de potências, como usar g/cm³ sem converter para kg/m³ e ainda inverter a raiz.
  • BResulta de não converter a densidade para o SI e de erros na raiz quadrada.
  • CNão corresponde ao resultado de \sqrt{G\rho}; ignora a conversão de 5\times10^{14} g/cm³ para 5\times10^{17} kg/m³.
  • DFica duas ordens abaixo; viria de usar a densidade em g/cm³ sem converter para kg/m³, ou de errar a raiz.

Assuntos: Unidades do SI e análise dimensional, Gravitação universal e satélites.

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Fonte: ITA 2018 · Física. Prova oficial ↗