Questão 1 (Física) do ITA 2016

Question

Considere um corpo esférico de raio r totalmente envolvido por um fluido de viscosidade \eta com velocidade média \boldsymbol{v}. De acordo com a lei de Stokes, para baixas velocidades, esse corpo sofrerá a ação de uma força de arrasto viscoso dada por \boldsymbol{F} = -6\pi r\eta\boldsymbol{v}. A dimensão de \eta é dada por

A
\text{m.s}^{-1}
B
\text{m.s}^{-2}
C
\text{kg.m.s}^{-2}
D
\text{kg.m.s}^{-3}
E
\text{kg.m}^{-1}\text{s}^{-1}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Física) do ITA 2016

Física · Física: Unidades do SI e análise dimensional

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

1{,}0\text{ cal} = 4{,}2\text{ J} = 4{,}2 \times 10^7\text{ erg}. Calor específico da água: 1{,}0\text{ cal/g.K}. Massa específica da água: 1{,}0\text{ g/cm}^3.

Massa específica do ar: 1{,}2\text{ kg/m}^3. Velocidade do som no ar: 340\text{ m/s}.

Considere um corpo esférico de raio r totalmente envolvido por um fluido de viscosidade \eta com velocidade média \boldsymbol{v}. De acordo com a lei de Stokes, para baixas velocidades, esse corpo sofrerá a ação de uma força de arrasto viscoso dada por \boldsymbol{F} = -6\pi r\eta\boldsymbol{v}. A dimensão de \eta é dada por

A
\text{m.s}^{-1}
B
\text{m.s}^{-2}
C
\text{kg.m.s}^{-2}
D
\text{kg.m.s}^{-3}
E
\text{kg.m}^{-1}\text{s}^{-1}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A ideia é usar a análise dimensional: uma equação física precisa ter o mesmo tipo de unidade nos dois lados. Como 6\pi é um número puro (sem dimensão), a lei de Stokes dá, em módulo, F = 6\pi r\eta v, e então a dimensão de \eta sai de isolá-lo:

\eta = \frac{F}{6\pi\, r\, v}

Agora escrevemos cada grandeza em unidades do SI:

Força: F = m\,a, logo [F] = \text{kg.m.s}^{-2}.
Raio: [r] = \text{m}.
Velocidade: [v] = \text{m.s}^{-1}.

Substituindo:

[\eta] = \frac{\text{kg.m.s}^{-2}}{\text{m}\cdot\text{m.s}^{-1}} = \frac{\text{kg.m.s}^{-2}}{\text{m}^2\text{.s}^{-1}} = \text{kg.m}^{-1}\text{.s}^{-1}

Conferindo: o numerador tem \text{m}^1 e o denominador \text{m}^2, sobrando \text{m}^{-1}. Para o tempo, \text{s}^{-2} dividido por \text{s}^{-1} dá \text{s}^{-1}. A massa (kg) permanece no numerador.

Isso equivale a \text{Pa.s}, a unidade usual de viscosidade.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ a dimensão de velocidade; ignora a massa e a força na expressão.
BÉ a dimensão de aceleração, sem relação com a viscosidade.
CÉ a dimensão da própria força; esquece de dividir por r e v.
DDivide a força só por r (ou erra a divisão por v), resultando em \text{kg.s}^{-2} ajustado incorretamente; o expoente de m e de s não confere.

Assunto: Unidades do SI e análise dimensional.

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Fonte: ITA 2016 · Física. Prova oficial ↗