Questão 13 (Física) do ITA 2015

Question

Na figura, o eixo vertical giratório imprime uma velocidade angular \omega = 10\text{ rad/s} ao sistema composto por quatro barras iguais, de comprimento L = 1\text{ m} e massa desprezível, graças a uma dupla articulação na posição fixa X. Por sua vez, as barras de baixo são articuladas na massa M de 2\text{ kg} que, através de um furo central, pode deslizar sem atrito ao longo do eixo e esticar uma mola de constante elástica k = 100\text{ N/m}, a partir da posição O da extremidade superior da mola em repouso, a dois metros abaixo de X. O sistema completa-se com duas massas iguais de m = 1\text{ kg} cada uma, articuladas às barras. Sendo desprezíveis as dimensões das massas, então, a mola distender-se-á de uma altura z acima de O dada por

Esquema de um mecanismo giratório vertical com quatro hastes articuladas de comprimento L em torno de um eixo com velocidade angular ômega. No topo, fixação em X; nos vértices intermediários, duas massas m; no vértice inferior, uma massa M articulada que desliza pelo eixo e comprime/estende uma mola vertical a partir da posição O, a uma distância 2L abaixo de X, deslocando-se por uma altura z.

A
0{,}2\ \text{m}
B
0{,}5\ \text{m}
C
0{,}6\ \text{m}
D
0{,}7\ \text{m}
E
0{,}9\ \text{m}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Física) do ITA 2015

Física · Física: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta)

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante dos gases: R = 8\text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K}). Pressão atmosférica ao nível do mar: P_0 = 100\text{ kPa}. Massa molecular do CO_2 = 44\text{ u}. Calor latente do gelo: 80\text{ cal}/\text{g}. Calor específico do gelo: 0{,}5\text{ cal}/(\text{g}\cdot\text{K}). 1\text{ cal} = 4 \times 10^7\text{ erg}. Aceleração da gravidade: g = 10{,}0\text{ m}/\text{s}^2.

Na figura, o eixo vertical giratório imprime uma velocidade angular \omega = 10\text{ rad/s} ao sistema composto por quatro barras iguais, de comprimento L = 1\text{ m} e massa desprezível, graças a uma dupla articulação na posição fixa X. Por sua vez, as barras de baixo são articuladas na massa M de 2\text{ kg} que, através de um furo central, pode deslizar sem atrito ao longo do eixo e esticar uma mola de constante elástica k = 100\text{ N/m}, a partir da posição O da extremidade superior da mola em repouso, a dois metros abaixo de X. O sistema completa-se com duas massas iguais de m = 1\text{ kg} cada uma, articuladas às barras. Sendo desprezíveis as dimensões das massas, então, a mola distender-se-á de uma altura z acima de O dada por

Esquema de um mecanismo giratório vertical com quatro hastes articuladas de comprimento L em torno de um eixo com velocidade angular ômega. No topo, fixação em X; nos vértices intermediários, duas massas m; no vértice inferior, uma massa M articulada que desliza pelo eixo e comprime/estende uma mola vertical a partir da posição O, a uma distância 2L abaixo de X, deslocando-se por uma altura z.

A
0{,}2\ \text{m}
B
0{,}5\ \text{m}
C
0{,}6\ \text{m}
D
0{,}7\ \text{m}
E
0{,}9\ \text{m}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Seja \theta o ângulo de cada barra com o eixo. As barras têm L=1\ \text{m} e formam um losango, então M está 2L\cos\theta abaixo de X. Como O está 2\ \text{m} abaixo de X e M está z acima de O, temos 2\cos\theta = 2 - z, ou seja, \cos\theta = 1 - z/2.

Na massa m agem a tração T_1 da barra superior (puxa para cima, em direção a X) e a tração T_2 da barra inferior (puxa para baixo, em direção a M).

Horizontal: (T_1+T_2)\sen\theta = m\omega^2 L\sen\theta, logo T_1+T_2 = 1\cdot 100\cdot 1 = 100\ \text{N}.
Vertical: (T_1-T_2)\cos\theta = mg = 10\ \text{N}.
Das duas equações: T_2 = 50 - \dfrac{5}{\cos\theta}.

No bloco M, as duas barras inferiores puxam para cima com 2T_2\cos\theta. Para baixo agem o peso Mg=20\ \text{N} e a força da mola esticada, kz = 100z:

2T_2\cos\theta = 100\cos\theta - 10 = 20 + 100z

Substituindo \cos\theta = 1 - z/2:

100 - 50z - 10 = 20 + 100z \Rightarrow 150z = 70 \Rightarrow z \approx 0{,}47\ \text{m}

O valor mais próximo entre as alternativas é 0{,}5\ \text{m} (o resultado exato não aparece nas opções).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

A0{,}2\ \text{m} fica muito abaixo do valor obtido no equilíbrio, z\approx0{,}47\ \text{m}.
C0{,}6\ \text{m} fica acima de 0{,}47\ \text{m}; só sai se as forças verticais forem montadas com erro.
D0{,}7\ \text{m} não corresponde ao equilíbrio de M com a mola esticada.
E0{,}9\ \text{m} está longe do valor correto e não satisfaz o equilíbrio.

Assuntos: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta), Força elástica e lei de Hooke.

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Questão 13 no caderno Física do ITA 2015

Fonte: ITA 2015 · Física. Prova oficial ↗