Questão 10 (Física) do ITA 2013

Question

Certo produto industrial constitui-se de uma embalagem rígida cheia de óleo, de dimensões L \times L \times d, sendo transportado numa esteira que passa por um sensor capacitivo de duas placas paralelas e quadradas de lado L, afastadas entre si de uma distância ligeiramente maior que d, conforme a figura. Quando o produto estiver inteiramente inserido entre as placas, o sensor deve acusar um valor de capacitância C_0. Considere, contudo, tenha havido antes um indesejado vazamento de óleo, tal que a efetiva medida da capacitância seja C = 3/4C_0. Sendo dadas as respectivas constantes dielétricas do óleo, \kappa = 2; e do ar, \kappa_{ar} = 1, e desprezando o efeito da constante dielétrica da embalagem, assinale a percentagem do volume de óleo vazado em relação ao seu volume original.

Esquema mostrando uma caixa rígida identificada como "produto" com dimensões L, L e d movendo-se sobre uma esteira em direção a um sensor capacitivo formado por duas placas quadradas paralelas verticais de lado L, separadas por uma distância ligeiramente maior ou igual a d.

A
5\%
B
50\%
C
100\%
D
10\%
E
75\%

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) do ITA 2013

Física · Física: Capacitores

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

do próton = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg}, aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2 , 1\text{ atm} = 76\text{ cm Hg}, velocidade da luz no vácuo c = 3 \times 10^8\text{ m/s}.

Certo produto industrial constitui-se de uma embalagem rígida cheia de óleo, de dimensões L \times L \times d, sendo transportado numa esteira que passa por um sensor capacitivo de duas placas paralelas e quadradas de lado L, afastadas entre si de uma distância ligeiramente maior que d, conforme a figura. Quando o produto estiver inteiramente inserido entre as placas, o sensor deve acusar um valor de capacitância C_0. Considere, contudo, tenha havido antes um indesejado vazamento de óleo, tal que a efetiva medida da capacitância seja C = 3/4C_0. Sendo dadas as respectivas constantes dielétricas do óleo, \kappa = 2; e do ar, \kappa_{ar} = 1, e desprezando o efeito da constante dielétrica da embalagem, assinale a percentagem do volume de óleo vazado em relação ao seu volume original.

Esquema mostrando uma caixa rígida identificada como "produto" com dimensões L, L e d movendo-se sobre uma esteira em direção a um sensor capacitivo formado por duas placas quadradas paralelas verticais de lado L, separadas por uma distância ligeiramente maior ou igual a d.

A
5\%
B
50\%
C
100\%
D
10\%
E
75\%

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Resolução comentada

As placas são verticais e o produto passa entre elas com a face L\times L voltada para as placas, e a distância entre as placas é d. Se o óleo vaza, ele deixa de ocupar a parte de cima da embalagem e entra ar no lugar. O óleo que sobra fica embaixo, até uma altura h, e o ar ocupa a altura L-h acima. Cada parte vai de uma placa à outra, então as duas regiões são capacitores em paralelo, cada um com área proporcional à sua altura.

Capacitância com a embalagem cheia de óleo: C_0=\kappa\,\dfrac{\varepsilon_0 L^2}{d}=2\,\dfrac{\varepsilon_0 L^2}{d}.
Capacitância após o vazamento (paralelo): C=\dfrac{\varepsilon_0 L}{d}\left[2h+1\cdot(L-h)\right]=\dfrac{\varepsilon_0 L}{d}(L+h).
Condição do enunciado, C=\dfrac34 C_0:

\frac{\varepsilon_0 L}{d}(L+h)=\frac34\cdot\frac{2\varepsilon_0 L^2}{d}=\frac{3}{2}\frac{\varepsilon_0 L^2}{d}

Cancelando \varepsilon_0 L/d: L+h=\dfrac{3L}{2}, logo h=\dfrac{L}{2}.
Sobrou metade da altura de óleo, então o volume vazado é 50\% do original.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a conta; não resulta de L+h=3L/2.
CVazamento total daria C=C_0/2 (só ar), não 3C_0/4.
DValor sem base na relação de capacitores em paralelo.
EConfunde o fator 3/4 da capacitância com a fração de óleo vazado.

Assunto: Capacitores.

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Questão 10 no caderno Física do ITA 2013

Fonte: ITA 2013 · Física. Prova oficial ↗