Questão 1 (Física) do ITA 2013

Question

Ao passar pelo ponto O, um helicóptero segue na direção norte com velocidade v constante. Nesse momento, um avião passa pelo ponto P, a uma distância \delta de O, e voa para o oeste, em direção a O, com velocidade u também constante, conforme mostra a figura. Considerando t o instante em que a distância d entre o helicóptero e o avião for mínima, assinale a alternativa correta.

Eixos perpendiculares indicando as direções Norte e Oeste a partir da origem O. No ponto O, o helicóptero move-se para o Norte com vetor velocidade v. No eixo horizontal, à direita, o ponto P está à distância delta de O, e nele o avião move-se para o Oeste (em direção a O) com vetor velocidade u.

A
A distância percorrida pelo helicóptero no instante em que o avião alcança o ponto O é \delta u/v.
B
A distância do helicóptero ao ponto O no instante t é igual a \delta v/\sqrt{v^2 + u^2}.
C
A distância do avião ao ponto O no instante t é igual a \delta v^2 / (v^2 + u^2).
D
O instante t é igual a \delta v/ (v^2 + u^2).
E
A distância d é igual a \delta u/\sqrt{v^2 + u^2}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Física) do ITA 2013

Física · Física: Cinemática vetorial e composição de movimentos

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

do próton = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg}, aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2 , 1\text{ atm} = 76\text{ cm Hg}, velocidade da luz no vácuo c = 3 \times 10^8\text{ m/s}.

Ao passar pelo ponto O, um helicóptero segue na direção norte com velocidade v constante. Nesse momento, um avião passa pelo ponto P, a uma distância \delta de O, e voa para o oeste, em direção a O, com velocidade u também constante, conforme mostra a figura. Considerando t o instante em que a distância d entre o helicóptero e o avião for mínima, assinale a alternativa correta.

Eixos perpendiculares indicando as direções Norte e Oeste a partir da origem O. No ponto O, o helicóptero move-se para o Norte com vetor velocidade v. No eixo horizontal, à direita, o ponto P está à distância delta de O, e nele o avião move-se para o Oeste (em direção a O) com vetor velocidade u.

A
A distância percorrida pelo helicóptero no instante em que o avião alcança o ponto O é \delta u/v.
B
A distância do helicóptero ao ponto O no instante t é igual a \delta v/\sqrt{v^2 + u^2}.
C
A distância do avião ao ponto O no instante t é igual a \delta v^2 / (v^2 + u^2).
D
O instante t é igual a \delta v/ (v^2 + u^2).
E
A distância d é igual a \delta u/\sqrt{v^2 + u^2}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Coloque a origem em O, com o eixo x apontando para o leste (onde está P) e o eixo y para o norte.

Posições em função do tempo:

helicóptero: (0,\ vt)
avião: (\delta - ut,\ 0)

O quadrado da distância entre eles é:

d^2 = (\delta - ut)^2 + (vt)^2

Essa função do segundo grau em t é mínima no vértice. Derivando e igualando a zero:

-2u(\delta - ut) + 2v^2 t = 0 \;\Rightarrow\; t = \frac{\delta u}{u^2+v^2}

Agora confira cada alternativa com esse t:

Distância do helicóptero a O: vt = \dfrac{\delta u v}{u^2+v^2}. Isso não coincide com (B).
Posição do avião: \delta - ut = \delta - \dfrac{\delta u^2}{u^2+v^2} = \dfrac{\delta v^2}{u^2+v^2}. Isso coincide com (C).
Distância mínima: d^2 = \left(\dfrac{\delta v^2}{u^2+v^2}\right)^2 + \left(\dfrac{\delta uv}{u^2+v^2}\right)^2 = \dfrac{\delta^2 v^2 (v^2+u^2)}{(u^2+v^2)^2}. Logo d = \dfrac{\delta v}{\sqrt{u^2+v^2}}, e não \delta u/\sqrt{u^2+v^2} como diz (E).
O avião chega a O em t=\delta/u, e o helicóptero percorre v\delta/u, e não \delta u/v como diz (A).
O valor de t é \delta u/(u^2+v^2), e não \delta v/(v^2+u^2) como diz (D).

Só a (C) está correta.

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas A, D e E trocam u por v em expressões parecidas com as corretas, enganando quem não confere o cálculo completo.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO helicóptero percorre v\delta/u até o avião chegar a O; a alternativa inverte a razão.
BA distância correta do helicóptero a O é \delta uv/(u^2+v^2), não \delta v/\sqrt{u^2+v^2}.
DO tempo de mínima distância é \delta u/(u^2+v^2); trocou u por v no numerador.
EA distância mínima é \delta v/\sqrt{u^2+v^2}; trocou v por u.

Assunto: Cinemática vetorial e composição de movimentos.

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Fonte: ITA 2013 · Física. Prova oficial ↗