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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) do ITA 2009

Matemática · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
(a, +\infty) = {]a, +\infty[} = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < +\infty\}
A\backslash B = \{x \in A;\ x \notin B\}
A^C : complementar do conjunto A
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im} z : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
M_{m \times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n
A^t : transposta da matriz A
\det A : determinante da matriz A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}. Sabendo que (B^C \cup A)^C = \{f, g, h\}, B^C \cap A = \{a, b\} e A^C \setminus B = \{d, e\}, então, n(P(A \cap B)) é igual a

  1. A
    0.
  2. B
    1.
  3. C
    2.
  4. D
    4.
  5. E
    8.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Vamos descobrir em qual região do diagrama de Venn cada elemento de U fica, usando as três informações.

  1. (B^C \cup A)^C = B \cap A^C = \{f, g, h\}: esses elementos estão em B e fora de A.

  2. B^C \cap A = A \setminus B = \{a, b\}: estão em A e fora de B.

  3. A^C \setminus B = A^C \cap B^C = \{d, e\}: estão fora de A e fora de B.

Somando: \{f,g,h\}, \{a,b\} e \{d,e\} dão 7 elementos, todos fora de A\cap B. Sobra apenas c, que não pode estar em nenhuma das três regiões acima. As quatro regiões possíveis são A\cap B, A\setminus B, B\setminus A e (A\cup B)^C. Como as outras três já estão preenchidas, c só pode estar em A \cap B.

Logo A \cap B = \{c\}, com n(A\cap B)=1.

O conjunto das partes de um conjunto com n elementos tem 2^n elementos:

n(P(A\cap B)) = 2^1 = 2

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem acha A\cap B=\{c\} e responde 1, esquecendo que a pergunta é sobre n(P(A\cap B))=2^1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe A\cap B vazio, mas o elemento c sobra e só cabe em A\cap B.
  • BUsa n(A\cap B)=1 e esquece que se pede o número de elementos do conjunto das partes, 2^1.
  • DConsidera A\cap B com 2 elementos, o que não bate com a partição de U.
  • EConsidera A\cap B com 3 elementos, trocando regiões do diagrama.

Assuntos: Conjuntos e conjuntos numéricos, Potenciação e radiciação.

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Fonte: ITA 2009 · Matemática. Prova oficial ↗