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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) do ITA 2008

Física · Física: Leis de Kepler

A estrela anã vermelha Gliese 581 possui um planeta que, num período de 13 dias terrestres, realiza em torno da estrela uma órbita circular, cujo raio é igual a 1/14 da distância média entre o Sol e a Terra. Sabendo que a massa do planeta é aproximadamente igual à da Terra, pode-se dizer que a razão entre as massas da Gliese 581 e do nosso Sol é de aproximadamente

  1. A
    0{,}05
  2. B
    0{,}1
  3. C
    0{,}6
  4. D
    0{,}3
  5. E
    4{,}0
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Resolução comentada

Pela terceira lei de Kepler, para órbitas circulares em torno de uma massa M, vale T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}, ou seja, M \propto \frac{r^3}{T^2}. Como a massa do planeta é desprezível perto da massa da estrela, basta comparar o sistema Gliese–planeta com o sistema Sol–Terra.

Dados da Terra: r_T = 1\ \text{UA} e T_T = 365 dias.
Dados do planeta: r = \frac{1}{14}\ \text{UA} e T = 13 dias.

  1. Razão das massas:

    \frac{M_G}{M_S} = \left(\frac{r}{r_T}\right)^3 \left(\frac{T_T}{T}\right)^2

  2. Razão dos raios ao cubo: \left(\frac{1}{14}\right)^3 = \frac{1}{2744}.

  3. Razão dos períodos ao quadrado: \left(\frac{365}{13}\right)^2 \approx (28{,}08)^2 \approx 788{,}3.

  4. Resultado:

    \frac{M_G}{M_S} \approx \frac{788{,}3}{2744} \approx 0{,}29 \approx 0{,}3

Portanto, a anã vermelha tem cerca de 30% da massa do Sol.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErro de potência na conta, por exemplo usar r^2 no lugar de r^3 ou invertida a razão dos períodos, levando a um valor muito pequeno.
  • BValor sem respaldo na conta; resulta de aproximar mal 365/13 ou 14^3 durante o cálculo.
  • CAproximação grosseira dos números, que dobra o resultado correto de 0{,}29.
  • EInverte a razão r^3/T^2 ou troca os papéis, obtendo valor maior que 1 sem sentido para uma anã vermelha.

Assuntos: Leis de Kepler, Gravitação universal e satélites.

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Fonte: ITA 2008 · Física. Prova oficial ↗