PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 do IME 2025

Prova objetiva · Física · Física: Campo elétrico

Em uma determinada região esférica do espaço, a distribuição volumétrica de cargas é tal que o campo elétrico em seu interior é o vetor E(r)\,\hat{u}_r, onde \hat{u}_r é o vetor unitário na direção radial e E(r), em V/m, é igual a:

E(r) = \begin{cases} A\cos\left(\dfrac{3r\pi}{2R}\right) + \dfrac{(2-r)^2}{R} - 1, & 0 \le r \le R; \\[1em] 0, & r > R. \end{cases}

em que A é uma constante, r é a distância até o centro da esfera e R é o raio da esfera, em metros.

Observação:

• R < 3\text{ m}.

Com as condições impostas acima, a constante A, em V/m, necessariamente é:

  1. A
    -2
  2. B
    2
  3. C
    -3
  4. D
    3
  5. E
    0
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Resolução comentada

O campo fora da esfera é nulo (r>R). Pela lei de Gauss, o campo radial de uma distribuição com simetria esférica é E = \frac{Q_{int}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, e uma distribuição esférica real não tem salto de campo em r=R sem carga superficial. Mas há uma condição mais forte: em r=0, o campo deve ser nulo, senão haveria carga pontual na origem (um campo finito e não nulo em r\to0 exigiria Q_{int}\propto r^2 finito, o que é impossível para densidade volumétrica limitada).

Assim, impomos E(0)=0:

  1. A\cos(0) + \dfrac{(2-0)^2}{R} - 1 = 0
  2. A + \dfrac{4}{R} - 1 = 0, logo A = 1 - \dfrac{4}{R}.

Agora a continuidade em r=R, dado que não há carga superficial (a distribuição é volumétrica): E(R)=0.

  1. A\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) + \dfrac{(2-R)^2}{R} - 1 = 0
  2. O cosseno vale 0, então (2-R)^2 = R, ou seja, R^2 - 5R + 4 = 0.
  3. As raízes são R=1 ou R=4. Como R<3, R=1.

Substituindo na etapa 2: A = 1 - \dfrac{4}{1} = -3.

Verificação: E(0) = -3 + 4 - 1 = 0 e E(1) = 0 + 1 - 1 = 0. Tudo consistente.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor que não satisfaz E(0)=0 com R=1, pois daria E(0)=1.
  • BNão anula o campo na origem: 2+4-1=5\neq0.
  • DTroca o sinal de A; daria E(0)=3+4-1=6\neq0.
  • ECom A=0 teríamos E(0)=3\neq0, violando a condição na origem.

Assunto: Campo elétrico.

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Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗