Questão 2 (Química) da 2ª fase do IME 2027

a)

Para um mol de gás ideal, as etapas isotérmicas obedecem a P=RT/V: são hipérboles no diagrama P\times V. Na etapa I, o volume diminui e a pressão aumenta, mantendo-se T_1.

Na compressão adiabática II, o trabalho recebido aumenta a energia interna do gás; portanto, T_3>T_1. Assim, a expansão isotérmica III ocorre sobre uma isoterma acima da primeira. Finalmente, a expansão adiabática IV resfria o gás até o estado inicial.

P
↑
│      ● 3
│       ·╲____        III →
│        ·    ╲______● 4
│    II ↖ ·            ·
│          ● 2          · ↘ IV
│           ╲____        ·
│                ╲_______● 1
│                 ← I
└────────────────────────────→ V

As linhas pontilhadas são ligações esquemáticas: como II e IV são muito rápidas, não se pode pressupor uma sequência de estados de equilíbrio nem aplicar automaticamente PV^\gamma=\text{constante}.

O percurso é 1\xrightarrow{\text{I, isotérmica}}2\xrightarrow{\text{II, adiabática}}3\xrightarrow{\text{III, isotérmica}}4\xrightarrow{\text{IV, adiabática}}1, com T_3>T_1.

b)

Adotando como positivo o trabalho realizado pelo gás, a primeira lei da Termodinâmica é

Nas etapas II e IV, não há troca de calor. Logo, os trabalhos nessas etapas são iguais ao oposto das respectivas variações de energia interna:

Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Como a etapa I é isotérmica, U_2=U_1; como a etapa III também é isotérmica, U_4=U_3. Somando os trabalhos adiabáticos:

Portanto, o trabalho recebido pelo gás na compressão adiabática é compensado pelo trabalho realizado na expansão adiabática. Assim,

Logo, W_{\text{tot}}=W_1+W_3, pois W_2=-W_4.

Assuntos: Entropia e energia livre de Gibbs, Estudo dos gases e equação de Clapeyron.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.