Questão 59 da FUVEST 2027

Question

Sabe-se que, em geral, as aranhas não usam visão, audição ou olfato para detectar quando uma presa cai em sua teia. Elas usam a informação coletada a partir de suas oito patas sobre o sinal advindo da vibração produzida pela presa.

Suponha uma situação simplificada, ilustrada a seguir, com as patas da aranha igualmente distribuídas, em que a bolinha preta indica a direção e sentido de onde provém o sinal provocado por uma presa. Considere ainda que a aranha sempre está atenta, posicionando-se parada no centro da teia. Na situação em que há somente duas bolinhas pretas, a aranha parte para a direção e sentido médio indicado por elas, exceto quando as duas bolinhas pretas estão diametralmente opostas:

Três esquemas de uma aranha de oito patas no centro de uma teia com duas bolinhas pretas nas patas: Fig. 1 (bolinhas adjacentes com seta indicando movimento para a direção média, legenda "Aranha se move"); Fig. 2 (duas bolinhas separadas por uma pata, com seta indicando direção média, legenda "Aranha se move"); Fig. 3 (duas bolinhas diametralmente opostas, legenda "Aranha não se move").

Quando há apenas quatro bolinhas pretas, a aranha não se move somente no caso em que ocorre oposição duas-a-duas, como se fossem dois pares de bolinhas opostas.

Três esquemas semelhantes com quatro bolinhas pretas nas patas: Fig. 4 e Fig. 5 com configurações em que a aranha se move, indicadas por setas vermelhas e legendas "Aranha se move"; Fig. 6 com duas duplas diametralmente opostas e legenda "Aranha não se move".

Considerando as informações e as figuras apresentadas, na situação com apenas duas ou apenas quatro bolinhas pretas, qual é o número de combinações diferentes que fazem com que a aranha se movimente?

A
88
B
85
C
82
D
58
E
63

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 59 da FUVEST 2027

1ª fase · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Sabe-se que, em geral, as aranhas não usam visão, audição ou olfato para detectar quando uma presa cai em sua teia. Elas usam a informação coletada a partir de suas oito patas sobre o sinal advindo da vibração produzida pela presa.

Suponha uma situação simplificada, ilustrada a seguir, com as patas da aranha igualmente distribuídas, em que a bolinha preta indica a direção e sentido de onde provém o sinal provocado por uma presa. Considere ainda que a aranha sempre está atenta, posicionando-se parada no centro da teia. Na situação em que há somente duas bolinhas pretas, a aranha parte para a direção e sentido médio indicado por elas, exceto quando as duas bolinhas pretas estão diametralmente opostas:

Três esquemas de uma aranha de oito patas no centro de uma teia com duas bolinhas pretas nas patas: Fig. 1 (bolinhas adjacentes com seta indicando movimento para a direção média, legenda "Aranha se move"); Fig. 2 (duas bolinhas separadas por uma pata, com seta indicando direção média, legenda "Aranha se move"); Fig. 3 (duas bolinhas diametralmente opostas, legenda "Aranha não se move").

Quando há apenas quatro bolinhas pretas, a aranha não se move somente no caso em que ocorre oposição duas-a-duas, como se fossem dois pares de bolinhas opostas.

Três esquemas semelhantes com quatro bolinhas pretas nas patas: Fig. 4 e Fig. 5 com configurações em que a aranha se move, indicadas por setas vermelhas e legendas "Aranha se move"; Fig. 6 com duas duplas diametralmente opostas e legenda "Aranha não se move".

Considerando as informações e as figuras apresentadas, na situação com apenas duas ou apenas quatro bolinhas pretas, qual é o número de combinações diferentes que fazem com que a aranha se movimente?

A
88
B
85
C
82
D
58
E
63

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Resolução comentada

Há 8 patas, igualmente espaçadas. Contamos as combinações em que a aranha se move para duas e para quatro bolinhas, e somamos.

Duas bolinhas. Ela só não se move se as bolinhas estiverem em patas opostas.

Total de escolhas: \binom{8}{2}=28.
Pares diametralmente opostos: 4.
Combinações em que ela se move: 28-4=24.

Quatro bolinhas. Ela só não se move se as bolinhas formarem dois pares de patas opostas. Como a figura mostra, a regra do enunciado é essa.

Total de escolhas: \binom{8}{4}=70.
Formar dois pares opostos equivale a escolher 2 dos 4 pares de patas opostas: \binom{4}{2}=6.
Combinações em que ela se move: 70-6=64.

Soma. 24+64=88.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhuma contagem correta; erra ao descontar as configurações imóveis.
CSubtrai quantidades indevidas de configurações imóveis, por exemplo contando mais casos de oposição do que os 4 pares e os 6 casos de dois pares opostos.
DValor sem justificativa combinatória; não corresponde à soma 24+64.
EConsidera só o caso de quatro bolinhas (64 menos 1) ou erra a soma, esquecendo as 24 de duas bolinhas.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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