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Questão 23 da FUVEST 2027

1ª fase · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

A cidade de Luanda, capital de Angola, banhada pelo Oceano Atlântico, está localizada geograficamente no hemisfério sul e a leste do meridiano de Greenwich. As suas coordenadas aproximadas são 9^\circ Sul (latitude) e 13^\circ Leste (longitude). Porto de Galinhas, em Pernambuco, está situada a aproximadamente 9^\circ Sul (latitude) e 35^\circ Leste (longitude). Por razões históricas, o comprimento da linha do Equador é um valor muito próximo de 40 mil quilômetros. Deseja-se estimar a distância que um navio deve percorrer entre Porto de Galinhas e Luanda se ele se deslocar sobre o paralelo 9^\circ Sul.

Mapa-múndi com paralelos assinalados (Círculo Polar Ártico, Trópico de Câncer, Equador, Trópico de Capricórnio e Círculo Polar Antártico) e um segmento tracejado em vermelho conectando Porto de Galinhas a Luanda ao longo do paralelo 9° Sul.

Assumindo que a Terra é perfeitamente esférica, a distância estimada, em quilômetros, é de, aproximadamente,

  1. A
    2,4 mil.
  2. B
    2,0 mil.
  3. C
    1,5 mil.
  4. D
    3,0 mil.
  5. E
    2,7 mil.

Note e adote:
\pi^2 \approx 10
cos(x) \approx 1 - x^2/2, quando x é expresso em radianos e |x| < 0{,}5

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Resolução comentada

O paralelo de latitude 9^\circ é uma circunferência menor, com raio r = R\cos 9^\circ, onde R é o raio da Terra. Logo, o comprimento desse paralelo é 40\,000\cdot\cos 9^\circ\ \text{km}.

O enunciado dá a longitude de Porto de Galinhas como 35^\circ Leste, mas ela está a oeste de Greenwich (cerca de 35^\circ Oeste). Luanda está a 13^\circ Leste. A diferença de longitude é então 35^\circ + 13^\circ = 48^\circ. Se fizéssemos 35-13=22^\circ, o resultado seria muito menor e não bateria com as alternativas. O mapa também mostra Porto de Galinhas na América do Sul, a oeste de Luanda, e isso confirma os 48^\circ.

  1. Cosseno de 9^\circ: 9^\circ = \pi/20\ \text{rad}, então x^2 = \pi^2/400 \approx 10/400 = 0{,}025.
  2. \cos 9^\circ \approx 1 - 0{,}025/2 = 0{,}9875.
  3. Comprimento do paralelo: 40\,000\cdot 0{,}9875 = 39\,500\ \text{km}.
  4. Fração do paralelo: 48/360 = 2/15.
  5. Distância: 39\,500\cdot \dfrac{2}{15} \approx 5\,267\ \text{km}.

Esse valor, cerca de 5{,}3 mil km, não consta nas alternativas. Se a diferença fosse 22^\circ, a distância seria 39\,500\cdot 22/360 \approx 2\,414\ \text{km}, ou seja, cerca de 2{,}4 mil km. Esse é o valor que aparece nas alternativas, e a questão foi feita com o enunciado literal (35^\circ - 13^\circ = 22^\circ).

Como a única alternativa compatível com os dados do enunciado é a que usa 22^\circ:

Alternativa A.

Pegadinha: O enunciado dá as duas longitudes como Leste, e a resolução considera a diferença 35^\circ-13^\circ=22^\circ. Na realidade, Porto de Galinhas está a oeste de Greenwich, e a diferença real seria de 48^\circ, que não leva a nenhuma alternativa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BIgnora o fator \cos 9^\circ e usa uma fração de arco inadequada, chegando a um valor próximo de 2,0 mil.
  • CValor sem relação com os dados; subestima o arco ou o raio do paralelo.
  • DUsa um arco maior que o dado pelo enunciado, sem correspondência com 22^\circ.
  • EUsa um arco maior que o dado pelo enunciado, sem correspondência com 22^\circ.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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