Questão 77 da FUVEST 2025
Em relação ao plano cartesiano Oxy, é correto afirmar que as equações x^2 + y^2 - 4x = -3 e x^2 + y^2 - 4y = -3 representam
- Aduas circunferências com raios de mesma medida e que se interceptam em dois pontos.
- Bduas circunferências com raios de medidas diferentes e que se interceptam em dois pontos.
- Cduas circunferências que se interceptam em um único ponto.
- Dduas circunferências concêntricas e que não se interceptam.
- Eduas circunferências com centros distintos e que não se interceptam.
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Resolução comentada
Para achar centro e raio, completamos quadrados em cada equação.
Primeira equação: x^2 - 4x + y^2 = -3. Somando 4 nos dois lados:
Centro C_1=(2,0) e raio r_1 = 1.
Segunda equação: x^2 + y^2 - 4y = -3. Somando 4 nos dois lados:
Centro C_2=(0,2) e raio r_2 = 1.
Os raios são iguais. Falta ver se as circunferências se cruzam, comparando a distância entre os centros com a soma dos raios:
- d(C_1,C_2)=\sqrt{(2-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83
- r_1+r_2 = 2
Como d > r_1 + r_2, as circunferências são externas uma à outra e não se interceptam.
Confirmando algebricamente: subtraindo as equações, -4x+4y=0, ou seja, y=x. Substituindo na primeira: 2x^2-4x+3=0, com \Delta=16-24=-8<0. Não há solução real, logo não há ponto em comum.
As circunferências têm raios iguais, centros distintos e nenhum ponto em comum.
Alternativa E.
Por que as outras alternativas estão erradas
- Aacerta que os raios são iguais, mas as circunferências não se cruzam, pois a distância entre os centros (2\sqrt{2}) é maior que a soma dos raios (2).
- Bos raios são iguais (ambos 1) e não há interseção.
- Ctangência exigiria distância entre os centros igual a 2, mas ela vale 2\sqrt{2}.
- Dos centros (2,0) e (0,2) são distintos, portanto não são concêntricas.
Assuntos: equação da circunferência, posição relativa de circunferências.
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