Questão 17 da FUVEST 2025

1ª fase

A imagem a seguir mostra um cruzamento da Rua da Consolação, na região central da cidade de São Paulo, em que há faixas de pedestre em diferentes direções. Essas faixas agilizam a travessia das ruas. Uma pessoa parte do ponto O e deseja chegar ao ponto C. Para tanto, percorre o trajeto pela faixa que liga O a B e, em seguida, utiliza a faixa que liga B a C. Considere que as coordenadas dos pontos indicados na figura, em metros, são: \text{O}(0,0), \text{B}(13,-15) e \text{C}(29,-8).

Vista aérea do cruzamento da Rua da Consolação com eixos cartesianos pontilhados em amarelo centrados na origem O(0,0) e linhas contínuas magenta conectando os pontos O, B e C sobre as faixas de pedestres.

Seja d a distância, em metros, que essa pessoa deixaria de percorrer se tivesse optado por fazer a travessia pela faixa de pedestre que liga O a C. Nesse contexto, é correto afirmar:

  1. A
    d < 2
  2. B
    2 \le d < 5
  3. C
    5 \le d \le 8
  4. D
    8 < d \le 11
  5. E
    11 < d
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Resolução comentada

A distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}. Vamos calcular os três lados do triângulo OBC.

  1. Trajeto O até B: \Delta x=13, \Delta y=-15, então OB=\sqrt{169+225}=\sqrt{394}\approx 19{,}85\ \text{m}.
  2. Trajeto B até C: \Delta x=29-13=16, \Delta y=-8-(-15)=7, então BC=\sqrt{256+49}=\sqrt{305}\approx 17{,}46\ \text{m}.
  3. Caminho direto O até C: \Delta x=29, \Delta y=-8, então OC=\sqrt{841+64}=\sqrt{905}\approx 30{,}08\ \text{m}.

Conferindo as raízes: 19{,}85^2\approx 394, 17{,}46^2\approx 304{,}9 e 30{,}08^2\approx 904{,}8.

O percurso feito por O–B–C mede 19{,}85+17{,}46\approx 37{,}31\ \text{m}.

A distância que deixaria de ser percorrida é

d=37{,}31-30{,}08\approx 7{,}2\ \text{m}

Como 5\le 7{,}2\le 8, o valor está no intervalo da alternativa C.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubestima a diferença, talvez por erro nas raízes ou ao confundir os catetos; o valor correto é cerca de 7,2 m.
  • BResulta de erro de cálculo nas distâncias; d não fica abaixo de 5 m.
  • DExigiria d acima de 8 m, o que ocorreria se as raízes fossem arredondadas para valores maiores ou se fossem somadas as diferenças de coordenadas.
  • ECorresponde a tomar o valor errado de d, como confundir com a soma das coordenadas; d real é cerca de 7,2 m.

Assuntos: distância entre dois pontos, geometria analítica.

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