Questão 85 da FUVEST 2024

Question

Números figurados são números que expressam o total de pontos em certas configurações geométricas. Um exemplo de números figurados são os triangulares, os quais são números naturais que podem ser representados geometricamente na forma de um triângulo. Os quatro primeiros números triangulares estão ilustrados na figura I. Apesar de o número 1 não representar um triângulo, ele é considerado um número triangular.

Quatro configurações de pontos azuis representando os números triangulares 1, 3, 6 e 10, indicados abaixo de cada configuração. A primeira contém um ponto; a segunda, três pontos em duas linhas de 1 e 2 pontos; a terceira, seis pontos em três linhas de 1, 2 e 3 pontos; e a quarta, dez pontos em quatro linhas de 1, 2, 3 e 4 pontos.

Figura I

Outro exemplo de número figurado é o número oblongo, o qual representa o total de pontos de um quadro retangular em que o número de colunas é uma unidade a mais do que o número de linhas. Os quatro primeiros números oblongos estão ilustrados na figura II. Apesar de o número 2 não representar um quadro retangular, ele é considerado um número oblongo.

Quatro configurações de pontos azuis representando os números oblongos 2, 6, 12 e 20, indicados abaixo de cada configuração. A primeira contém uma linha de dois pontos; a segunda, duas linhas e três colunas de pontos; a terceira, três linhas e quatro colunas; e a quarta, quatro linhas e cinco colunas.

Figura II

A respeito de números triangulares e números oblongos, assinale a alternativa correta.

A
162 é o 15º número triangular.
B
O 13º número triangular é primo e o 30º número oblongo é ímpar.
C
156 não é um número oblongo, nem triangular.
D
210 é um número triangular e oblongo.
E
A diferença entre dois números triangulares consecutivos são termos de uma progressão geométrica.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 85 da FUVEST 2024

1ª fase · Matemática: Sequências e padrões

Números figurados são números que expressam o total de pontos em certas configurações geométricas. Um exemplo de números figurados são os triangulares, os quais são números naturais que podem ser representados geometricamente na forma de um triângulo. Os quatro primeiros números triangulares estão ilustrados na figura I. Apesar de o número 1 não representar um triângulo, ele é considerado um número triangular.

Quatro configurações de pontos azuis representando os números triangulares 1, 3, 6 e 10, indicados abaixo de cada configuração. A primeira contém um ponto; a segunda, três pontos em duas linhas de 1 e 2 pontos; a terceira, seis pontos em três linhas de 1, 2 e 3 pontos; e a quarta, dez pontos em quatro linhas de 1, 2, 3 e 4 pontos.

Figura I

Outro exemplo de número figurado é o número oblongo, o qual representa o total de pontos de um quadro retangular em que o número de colunas é uma unidade a mais do que o número de linhas. Os quatro primeiros números oblongos estão ilustrados na figura II. Apesar de o número 2 não representar um quadro retangular, ele é considerado um número oblongo.

Quatro configurações de pontos azuis representando os números oblongos 2, 6, 12 e 20, indicados abaixo de cada configuração. A primeira contém uma linha de dois pontos; a segunda, duas linhas e três colunas de pontos; a terceira, três linhas e quatro colunas; e a quarta, quatro linhas e cinco colunas.

Figura II

A respeito de números triangulares e números oblongos, assinale a alternativa correta.

A
162 é o 15º número triangular.
B
O 13º número triangular é primo e o 30º número oblongo é ímpar.
C
156 não é um número oblongo, nem triangular.
D
210 é um número triangular e oblongo.
E
A diferença entre dois números triangulares consecutivos são termos de uma progressão geométrica.

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Resolução comentada

O n-ésimo número triangular é a soma 1+2+\dots+n, ou seja, T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}. O n-ésimo oblongo é O_n=n(n+1)=2T_n (1·2=2, 2·3=6, 3·4=12...).

Testando as alternativas:

(A) T_{15}=\dfrac{15\cdot16}{2}=120\neq162. Falsa.

(B) T_{13}=\dfrac{13\cdot14}{2}=91=7\cdot13, que não é primo. Além disso, O_{30}=30\cdot31=930 é par. Falsa.

(C) 156=12\cdot13, logo é oblongo (O_{12}). Falsa.

(D) 210=14\cdot15=O_{14}, então é oblongo. Também T_{20}=\dfrac{20\cdot21}{2}=210, então é triangular. Verdadeira.

(E) T_{n+1}-T_n=n+1, que forma a sequência 2,3,4,\dots, uma progressão aritmética de razão 1, não geométrica. Falsa.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AT_{15}=120, não 162.
BT_{13}=91=7\cdot13 não é primo e O_{30}=930 é par.
C156=12\cdot13 é oblongo.
EAs diferenças n+1 formam uma PA de razão 1, não uma PG.

Assunto: Sequências e padrões.

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