Questão 78 da FUVEST 2023

Question

O telescópio espacial James Webb, lançado em dezembro de 2021, move-se nas proximidades de um ponto especial chamado ponto de Lagrange, sobre o qual um objeto orbita o Sol com o mesmo período de translação que a Terra. O esquema a seguir, fora de escala, representa o Sol, a Terra e o telescópio Webb, com as respectivas massas e distâncias indicadas.

Esquema mostrando o Sol com massa m_S, a Terra com massa m_T e o telescópio Webb com massa m_W alinhados horizontalmente. Setas indicam a distância R_T entre o centro do Sol e a Terra, e a distância R_W entre o centro do Sol e o telescópio Webb.

A força resultante necessária para manter um objeto de massa m em uma órbita circular de raio R com velocidade angular \omega é F = m\omega^2 R. Sendo F_T e F_W as intensidades das forças gravitacionais resultantes sobre a Terra e sobre o telescópio, respectivamente, assinale a alternativa que descreve a razão F_W/F_T entre essas forças.

A
\frac{F_W}{F_T} = \frac{m_W R_T}{m_T R_W}
B
\frac{F_W}{F_T} = \frac{(m_T+m_S)R_W}{m_T R_T}
C
\frac{F_W}{F_T} = \frac{m_W R_W}{m_T R_T}
D
\frac{F_W}{F_T} = \frac{m_W(R_W-R_T)}{m_T R_T}
E
\frac{F_W}{F_T} = \frac{m_T(R_W-R_T)}{m_W R_T}

Note e adote:
Despreze os efeitos gravitacionais da Lua e suponha que m_W seja desprezível frente às outras massas e que as órbitas sejam perfeitamente circulares. Suponha ainda que o telescópio se situe exatamente sobre o ponto de Lagrange.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 78 da FUVEST 2023

1ª fase · Física: Gravitação universal e satélites

O telescópio espacial James Webb, lançado em dezembro de 2021, move-se nas proximidades de um ponto especial chamado ponto de Lagrange, sobre o qual um objeto orbita o Sol com o mesmo período de translação que a Terra. O esquema a seguir, fora de escala, representa o Sol, a Terra e o telescópio Webb, com as respectivas massas e distâncias indicadas.

Esquema mostrando o Sol com massa m_S, a Terra com massa m_T e o telescópio Webb com massa m_W alinhados horizontalmente. Setas indicam a distância R_T entre o centro do Sol e a Terra, e a distância R_W entre o centro do Sol e o telescópio Webb.

A força resultante necessária para manter um objeto de massa m em uma órbita circular de raio R com velocidade angular \omega é F = m\omega^2 R. Sendo F_T e F_W as intensidades das forças gravitacionais resultantes sobre a Terra e sobre o telescópio, respectivamente, assinale a alternativa que descreve a razão F_W/F_T entre essas forças.

A
\frac{F_W}{F_T} = \frac{m_W R_T}{m_T R_W}
B
\frac{F_W}{F_T} = \frac{(m_T+m_S)R_W}{m_T R_T}
C
\frac{F_W}{F_T} = \frac{m_W R_W}{m_T R_T}
D
\frac{F_W}{F_T} = \frac{m_W(R_W-R_T)}{m_T R_T}
E
\frac{F_W}{F_T} = \frac{m_T(R_W-R_T)}{m_W R_T}

Note e adote:
Despreze os efeitos gravitacionais da Lua e suponha que m_W seja desprezível frente às outras massas e que as órbitas sejam perfeitamente circulares. Suponha ainda que o telescópio se situe exatamente sobre o ponto de Lagrange.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A força gravitacional resultante sobre cada corpo é a força centrípeta que o mantém em órbita circular ao redor do Sol: F = m\omega^2 R.

O enunciado diz que o telescópio, no ponto de Lagrange, tem o mesmo período da Terra. Logo os dois têm a mesma velocidade angular \omega, e ela se cancela na razão.

Para a Terra: F_T = m_T\,\omega^2 R_T
Para o telescópio: F_W = m_W\,\omega^2 R_W
Dividindo:

\frac{F_W}{F_T} = \frac{m_W\,\omega^2 R_W}{m_T\,\omega^2 R_T} = \frac{m_W R_W}{m_T R_T}

Não é preciso calcular as forças gravitacionais individuais (Sol + Terra sobre o Webb), pois a questão fornece a relação da força resultante com o movimento circular. A resultante sobre o Webb inclui a atração da Terra, mas isso já está embutido em F_W.

O raio a usar é sempre a distância ao centro da órbita, o Sol: R_T e R_W, e não a diferença R_W-R_T.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ainverte os raios, colocando R_T no numerador e R_W no denominador.
Busa massas erradas (m_T+m_S no numerador) e ignora m_W; não vem de m\omega^2R.
Dusa R_W-R_T, distância entre Terra e Webb, que não é o raio da órbita ao redor do Sol.
Einverte as massas e usa a diferença de raios, sem relação com m\omega^2R.

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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