Questão 41 da FUVEST 2022

1ª fase

A quantidade de bactérias em um líquido é diretamente proporcional à medida da turbidez desse líquido. O gráfico mostra, em escala logarítmica, o crescimento da turbidez x de um líquido ao longo do tempo t (medido em minutos), isto é, mostra \log_{10} x em função de t. Os dados foram coletados de 30 em 30 minutos, e uma curva de interpolação foi obtida para inferir valores intermediários.

Gráfico de logaritmo na base 10 de x em função de t em minutos. O eixo vertical varia de -2,0 a +0,5 com divisões a cada 0,1, e o eixo horizontal varia de 0 a 300 minutos. Uma curva sigmoidal vermelha indica dois pontos destacados por linhas pontilhadas verticais: no instante t0, o valor no eixo vertical é -1,3; no instante t1, o valor é -0,3.

Disponível em https://fankhauserblog.wordpress.com/.

Com base no gráfico, em quantas vezes a população de bactérias aumentou, do instante t_0 para o instante t_1?

  1. A
    2
  2. B
    4
  3. C
    5
  4. D
    10
  5. E
    100
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Resolução comentada

A quantidade de bactérias é proporcional à turbidez x, então a razão entre as populações em t_1 e t_0 é a razão entre as turbidezes: \dfrac{x_1}{x_0}.\n\nO gráfico não mostra x, e sim \log_{10} x. Lendo os dois pontos destacados:\n\n1. Em t_0: \log_{10} x_0 = -1{,}3.\n2. Em t_1: \log_{10} x_1 = -0{,}3.\n\nComo a diferença de logaritmos na mesma base é o logaritmo do quociente:\n\n

\log_{10}\frac{x_1}{x_0} = \log_{10} x_1 - \log_{10} x_0 = -0{,}3 - (-1{,}3) = 1
\n\nPela definição de logaritmo, \log_{10} \dfrac{x_1}{x_0} = 1 significa\n\n
\frac{x_1}{x_0} = 10^1 = 10.
\n\nAssim, a cada aumento de 1 unidade no eixo vertical, a turbidez (e a população) fica 10 vezes maior. Como os pontos diferem exatamente de 1 unidade, a população aumentou 10 vezes.\n\nAlternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão tem relação com a diferença de 1 unidade no logaritmo; seria o caso de \log na base 2 ou uma leitura errada do gráfico.
  • BValor sem justificativa a partir dos dados; ignora que a diferença de logaritmos vale 1 na base 10.
  • CNão decorre da diferença de logaritmos, que dá 10^1, e não 5.
  • ECorresponderia a uma diferença de 2 unidades no eixo vertical, não de 1.

Assuntos: logaritmos, leitura de gráfico, propriedades do logaritmo.

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