Questão 55 da FUVEST 2019
Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover-se uma unidade para a direita ou mover-se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.
Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial?
- A\dfrac{1}{9}
- B\dfrac{17}{81}
- C\dfrac{1}{3}
- D\dfrac{51}{125}
- E\dfrac{125}{243}
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Resolução comentada
Cada rodada tem 3 resultados equiprováveis: ficar (0), direita (+1) ou esquerda (−1). Em 5 rodadas há 3^5 = 243 sequências possíveis, todas com a mesma probabilidade.
Para voltar ao zero, o número de passos +1 deve ser igual ao de passos -1. Seja k esse número; sobram 5-2k rodadas em que a seta fica parada.
- k=0: as 5 rodadas são paradas. Há 1 sequência.
- k=1: um +1, um -1 e três paradas. Escolhemos a posição do +1 (5 modos) e a do -1 (4 modos): 5\cdot 4 = 20 sequências.
- k=2: dois +1, dois -1 e uma parada. Número de permutações: \dfrac{5!}{2!\,2!\,1!} = 30 sequências.
Total de casos favoráveis: 1 + 20 + 30 = 51.
Probabilidade:
Alternativa B.
Pegadinha: A alternativa D engana: traz o numerador 51 correto, mas com denominador 125 (5^3) no lugar de 243 (3^5), ao trocar base e expoente.
Por que as outras alternativas estão erradas
- ANão tem base na contagem; é um valor arbitrário, muito menor que os 51 casos favoráveis em 243.
- CSupõe que a chance de estar no zero é a de uma rodada isolada, ignorando a contagem de sequências.
- DUsa 51 como numerador, mas com denominador 5^3=125, em vez de 3^5=243.
- EUsa denominador 243 com numerador 125 (5^3), trocando base e expoente.
Assuntos: probabilidade, análise combinatória, permutação com repetição.
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