Questão 54 da FUVEST 2019

1ª fase

Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia-se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.

Esquema de um triângulo retângulo ABC apoiado sobre o solo pelo segmento BC, com ângulo reto no vértice A, cateto AB de comprimento 1 e hipotenusa BC de comprimento 2. Linhas finas e uma seta curva indicam a rotação no sentido horário em torno do vértice C.

Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2), qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar-se no solo novamente?

  1. A
    \frac{3}{2} \pi
  2. B
    \frac{3+\sqrt{3}}{3} \pi
  3. C
    \frac{13}{6} \pi
  4. D
    \frac{3+\sqrt{3}}{2} \pi
  5. E
    \frac{8+2\sqrt{3}}{3} \pi
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Resolução comentada

O triângulo tem ângulo reto em A, AB=1 e BC=2. Logo AC=\sqrt{3}, o ângulo em C mede 30^\circ e o ângulo em B mede 60^\circ.

A trajetória de B é feita de arcos de circunferência. Cada arco tem centro no vértice em torno do qual o triângulo gira e raio igual à distância de B a esse vértice.

  1. Giro em torno de C: o raio é CB=2. O giro termina quando A toca o solo, ou seja, quando CA fica sobre o solo. CA estava inclinado 30^\circ em relação ao solo, então o ângulo girado é 30^\circ (valor que depende da posição inicial). Comprimento: \frac{30}{360}\cdot 2\pi\cdot 2=\frac{\pi}{3}.

Conferindo: o giro em torno de C leva o lado CA até o solo, então o ângulo é o de C, 30^\circ.

  1. Giro em torno de A: o raio é AB=1. O triângulo gira até AB ficar sobre o solo. Antes, AC estava no solo, e AB é perpendicular a AC. O ângulo girado é então 90^\circ. Comprimento: \frac{90}{360}\cdot 2\pi\cdot 1=\frac{\pi}{2}.

  2. Giro em torno de B: B fica parado, pois é o centro. Depois disso BC volta a apoiar-se no solo.

No giro em torno de B, o vértice B não se move, então esse trecho contribui com 0.

Soma: \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{6}.

Essa soma não aparece nas alternativas, então a contagem dos ângulos precisa ser refeita. O ângulo girado em torno de C é o suplemento do ângulo interno: o lado CB estava no solo e CA passa a ocupar o solo, então o giro é 180^\circ-30^\circ=150^\circ. Comprimento: \frac{150}{360}\cdot 4\pi=\frac{5\pi}{3}.

Em torno de A: AC estava no solo e AB passa a ocupar o solo, o giro é 180^\circ-90^\circ=90^\circ. Comprimento: \frac{\pi}{2}.

Total: \frac{5\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{6}.

Alternativa C.

Pegadinha: Usar os ângulos internos (30^\circ e 90^\circ) como ângulos de giro, em vez de 150^\circ e 90^\circ (suplementos), dá 5\pi/6, que não está nas alternativas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde à soma dos arcos de 150^\circ (raio 2) e 90^\circ (raio 1).
  • BUsa o cateto \sqrt{3} como raio, mas B nunca gira em torno de um ponto a essa distância.
  • DMistura o raio \sqrt{3} e ângulos errados; B só tem raios 2 e 1.
  • EInclui um arco com raio \sqrt{3} que não faz parte da trajetória de B.

Assuntos: comprimento de arco, triângulo retângulo, rotação.

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