Questão 54 da FUVEST 2019

Question

Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia-se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.

Esquema de um triângulo retângulo ABC apoiado sobre o solo pelo segmento BC, com ângulo reto no vértice A, cateto AB de comprimento 1 e hipotenusa BC de comprimento 2. Linhas finas e uma seta curva indicam a rotação no sentido horário em torno do vértice C.

Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2), qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar-se no solo novamente?

A
\frac{3}{2} \pi
B
\frac{3+\sqrt{3}}{3} \pi
C
\frac{13}{6} \pi
D
\frac{3+\sqrt{3}}{2} \pi
E
\frac{8+2\sqrt{3}}{3} \pi

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 54 da FUVEST 2019

1ª fase · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia-se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.

Esquema de um triângulo retângulo ABC apoiado sobre o solo pelo segmento BC, com ângulo reto no vértice A, cateto AB de comprimento 1 e hipotenusa BC de comprimento 2. Linhas finas e uma seta curva indicam a rotação no sentido horário em torno do vértice C.

Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2), qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar-se no solo novamente?

A
\frac{3}{2} \pi
B
\frac{3+\sqrt{3}}{3} \pi
C
\frac{13}{6} \pi
D
\frac{3+\sqrt{3}}{2} \pi
E
\frac{8+2\sqrt{3}}{3} \pi

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

O triângulo tem hipotenusa BC=2 e cateto AB=1, então AC=\sqrt{3}. Os ângulos são B=60^\circ, C=30^\circ e A=90^\circ.

O vértice B só se move quando o giro é em torno de outro vértice. Cada giro é um arco de circunferência com centro no vértice de apoio.

Giro em torno de C (até A tocar o solo): B está a BC=2 de C. O ângulo girado é o que leva CA para o solo, ou seja, o ângulo externo em C: 180^\circ-30^\circ=150^\circ. Comprimento: \dfrac{150}{360}\cdot 2\pi\cdot 2=\dfrac{5\pi}{3}.
Giro em torno de A (até B tocar o solo): B está a AB=1 de A. O ângulo girado é 180^\circ-90^\circ=90^\circ. Comprimento: \dfrac{1}{4}\cdot 2\pi\cdot 1=\dfrac{\pi}{2}.
Giro em torno de B (até C tocar o solo, e BC ficar no solo): B é o centro e não se move. Contribuição: 0.

Após esse terceiro giro, BC volta a apoiar-se no solo.

Somando:

\frac{5\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{10\pi+3\pi}{6}=\frac{13\pi}{6}

Alternativa C.

Pegadinha: Usar o ângulo interno de 30^\circ em C em vez do ângulo externo de 150^\circ, e esquecer que no giro em torno de B o vértice B fica parado.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa ângulos ou raios errados e não chega à soma \frac{5\pi}{3}+\frac{\pi}{2}.
BInclui um comprimento com \sqrt{3}, como se B percorresse arco de raio AC, que não é distância de B ao centro.
DMistura raios, usando AC=\sqrt{3} como raio de um arco de B, o que não ocorre.
ESuperestima os arcos, usando ângulos maiores ou raios inadequados.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova