Questão 53 da FUVEST 2019
Se \log_2 y = -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \log_2 x, para x > 0, então
- Ay = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{2}}
- By = \sqrt{\frac{x^3}{2}}
- Cy = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt[3]{x^2}
- Dy = \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{x^2}
- Ey = \sqrt{2x^3}
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Resolução comentada
A ideia é transformar cada termo do lado direito em um único logaritmo de base 2, usando duas propriedades: a\log_2 b = \log_2 b^a e \log_2 m + \log_2 n = \log_2 (mn). Depois, igualamos os logaritmandos.
- Escreva -\frac{1}{2} como logaritmo: -\frac{1}{2} = \log_2 2^{-1/2}, pois \log_2 2^k = k.
- Leve o coeficiente para o expoente: \frac{2}{3}\log_2 x = \log_2 x^{2/3}.
- Some os logaritmos:
\log_2 y = \log_2 2^{-1/2} + \log_2 x^{2/3} = \log_2\left(2^{-1/2}\cdot x^{2/3}\right) - Como o logaritmo na mesma base é injetor, os logaritmandos são iguais:
y = 2^{-1/2}\cdot x^{2/3} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt[3]{x^2} = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{2}}
Essa expressão aparece na alternativa A. Conferindo com x=8: \frac{2}{3}\log_2 8 = 2, então \log_2 y = 1{,}5 e y = 2^{1,5}. Pela alternativa A: \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt 2} = \frac{4}{\sqrt2} = 2\sqrt2 = 2^{1,5}. Confere.
Alternativa A.
Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece o sinal negativo de -\frac12 e multiplica por \sqrt2 em vez de dividir.
Por que as outras alternativas estão erradas
- BCombina expoentes de forma errada, como se fosse x^{3/2} e 2^{-1}, invertendo o expoente 2/3 e mudando o 1/2.
- CTransforma a soma de logaritmos em soma de termos, quando deveria ser produto dos logaritmandos.
- DUsa 2^{+1/2} multiplicando, ignorando o sinal negativo do expoente.
- EInverte o expoente de x para 3/2 e multiplica por \sqrt2, errando o sinal e a fração.
Assuntos: propriedades dos logaritmos, potências e radicais.
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