Questão 48 da FUVEST 2019

1ª fase

Considere a função polinomial f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por

f(x) = ax^2 + bx + c,

em que a, b, c \in \mathbb{R} e a \neq 0. No plano cartesiano xy, a única intersecção da reta y = 2 com o gráfico de f é o ponto (2; 2) e a intersecção da reta x = 0 com o gráfico de f é o ponto (0; -6). O valor de a + b + c é

  1. A
    -2
  2. B
    0
  3. C
    2
  4. D
    4
  5. E
    6
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Resolução comentada

A reta y=2 toca o gráfico em um único ponto, (2;2). Uma reta horizontal que encontra uma parábola em só um ponto passa pelo vértice. Logo, o vértice é (2;2), e podemos escrever a função na forma canônica:

f(x)=a(x-2)^2+2.

A reta x=0 corta o gráfico em (0;-6), ou seja, f(0)=-6 (também é o valor de c). Substituindo:

  1. f(0)=a(0-2)^2+2=4a+2
  2. 4a+2=-6 \Rightarrow 4a=-8 \Rightarrow a=-2

Assim, f(x)=-2(x-2)^2+2. O valor de a+b+c é justamente f(1), pois f(1)=a+b+c:

f(1)=-2(1-2)^2+2=-2\cdot 1+2=0.

Conferindo pela forma expandida: f(x)=-2x^2+8x-8+2=-2x^2+8x-6, então a=-2, b=8, c=-6 e a+b+c=-2+8-6=0.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AParece vir de um erro de sinal ou de conta no cálculo de b, por exemplo ao expandir (x-2)^2.
  • CConfunde a+b+c com o valor do vértice, f(2)=2, em vez de calcular f(1).
  • DNão corresponde a nenhuma conta correta; vem de erro no cálculo de a ou b.
  • ENão corresponde a nenhuma conta correta; vem de erro de sinal em a ou c.

Assuntos: função quadrática, vértice da parábola.

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