Questão 47 da FUVEST 2019

Question

Se a função f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} é definida por f(x) = \frac{2x+1}{x-2} e a função g: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} é definida por g(x) = f(f(x)), então g(x) é igual a

A
\frac{x}{2}
B
x^2
C
2x
D
2x + 3
E
x

Answer 1

Questão 47 da FUVEST 2019

1ª fase

Se a função f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} é definida por f(x) = \frac{2x+1}{x-2} e a função g: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} é definida por g(x) = f(f(x)), então g(x) é igual a

A
\frac{x}{2}
B
x^2
C
2x
D
2x + 3
E
x

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Compor funções é substituir a expressão de f no lugar do x da própria f. Então:

g(x)=f(f(x))=\frac{2f(x)+1}{f(x)-2}

Agora trocamos f(x) por \frac{2x+1}{x-2}.

Numerador: 2\cdot\frac{2x+1}{x-2}+1=\frac{4x+2+(x-2)}{x-2}=\frac{5x}{x-2}.
Denominador: \frac{2x+1}{x-2}-2=\frac{2x+1-2(x-2)}{x-2}=\frac{2x+1-2x+4}{x-2}=\frac{5}{x-2}.
Dividindo, o fator x-2 se cancela:

g(x)=\frac{\frac{5x}{x-2}}{\frac{5}{x-2}}=\frac{5x}{5}=x

Conferindo com um valor: f(0)=\frac{1}{-2}=-\frac12 e f\left(-\frac12\right)=\frac{-1+1}{-\frac52}=0. Voltamos ao 0, como g(x)=x prevê.

Isso mostra que f é inversa dela mesma, por isso aplicá-la duas vezes devolve o x.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde ao resultado; o teste g(0)=0 não distingue, mas g(1)=1, e \frac{1}{2}\neq 1.
BConfunde composição f(f(x)) com elevar ao quadrado; g(1)=1 não basta, mas g(3)=3\neq 9.
CNão resulta da composição; g(1)=1, mas 2x daria 2.
DNão resulta da composição; g(1)=1, mas 2x+3 daria 5.

Assuntos: composição de funções, funções racionais.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova