Questão 23 da FUVEST 2019

Question

Três amigos vão acampar e descobrem que nenhum deles trouxe fósforos. Para acender o fogo e fazer o almoço, resolvem improvisar e prendem um pedaço de filme plástico transparente num aro de “cipó”. Colocam um pouco de água sobre o plástico, formando uma poça de aproximadamente 14 cm de diâmetro e 1 cm de profundidade máxima, cuja forma pode ser aproximada pela de uma calota esférica. Quando o sol está a pino, para aproveitamento máximo da energia solar, a distância, em cm, entre o centro do filme e a palha seca usada para iniciar o fogo, é, aproximadamente,

Note e adote:

Para uma lente plano-convexa, \frac{1}{f} = (n - 1)\frac{1}{R} , sendo n o índice de refração da lente e R o seu raio de curvatura.

Índice de refração da água = 1{,}33.

A
75
B
50
C
25
D
14
E
7

Answer 1

Questão 23 da FUVEST 2019

1ª fase

Três amigos vão acampar e descobrem que nenhum deles trouxe fósforos. Para acender o fogo e fazer o almoço, resolvem improvisar e prendem um pedaço de filme plástico transparente num aro de “cipó”. Colocam um pouco de água sobre o plástico, formando uma poça de aproximadamente 14 cm de diâmetro e 1 cm de profundidade máxima, cuja forma pode ser aproximada pela de uma calota esférica. Quando o sol está a pino, para aproveitamento máximo da energia solar, a distância, em cm, entre o centro do filme e a palha seca usada para iniciar o fogo, é, aproximadamente,

Note e adote:

Para uma lente plano-convexa, \frac{1}{f} = (n - 1)\frac{1}{R} , sendo n o índice de refração da lente e R o seu raio de curvatura.

Índice de refração da água = 1{,}33.

A
75
B
50
C
25
D
14
E
7

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Resolução comentada

A poça de água sobre o plástico funciona como uma lente plano-convexa. Com o sol a pino, os raios chegam paralelos, então a palha deve ficar no foco da lente. Precisamos de f, e para isso falta o raio de curvatura R da calota.

Raio da calota. A calota tem corda (diâmetro da poça) 2a = 14\ \text{cm}, ou seja, a = 7\ \text{cm}, e altura h = 1\ \text{cm}. Pelo teorema de Pitágoras (ou relação da corda):

R^2 = a^2 + (R-h)^2 \Rightarrow a^2 = 2Rh - h^2

49 = 2R(1) - 1
2R = 50
R = 25\ \text{cm}

Distância focal. Usando a equação fornecida:

\frac{1}{f} = (n-1)\frac{1}{R} = \frac{0{,}33}{25}

f = \frac{25}{0{,}33} \approx 75{,}8\ \text{cm}

Portanto, a palha deve ficar a cerca de 75 cm do centro do filme.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem calcula R = 25 cm e para aí, esquecendo que f = R/(n-1).

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com o cálculo correto; não decorre de nenhum passo da equação.
CPara no raio de curvatura R = 25 cm e esquece de dividir por n-1 = 0{,}33.
DUsa o diâmetro da poça (14 cm) como se fosse a distância focal.
EUsa o raio da poça (7 cm) em vez do raio de curvatura da calota.

Assuntos: lentes esféricas, equação dos fabricantes de lentes, geometria da calota esférica.

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