Questão 17 da FUVEST 2019

1ª fase

Um rapaz de massa m_1 corre numa pista horizontal e pula sobre um skate de massa m_2, que se encontra inicialmente em repouso. Com o impacto, o skate adquire velocidade e o conjunto rapaz+skate segue em direção a uma rampa e atinge uma altura máxima h. A velocidade do rapaz, imediatamente antes de tocar no skate, é dada por

Note e adote:
Considere que o sistema rapaz + skate não perde energia devido a forças dissipativas, após a colisão.
  1. A
    \frac{(m_1 + m_2)}{m_2}\sqrt{gh}
  2. B
    \frac{(m_1 + m_2)}{2m_1}\sqrt{gh}
  3. C
    \frac{m_1}{m_2}\sqrt{2gh}
  4. D
    \frac{(m_1 + m_2)}{m_1}\sqrt{2gh}
  5. E
    \frac{(2m_1 + m_2)}{m_1}\sqrt{gh}
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Resolução comentada

A questão tem duas etapas: a colisão (o rapaz pula no skate) e a subida na rampa.

Etapa 1: subida na rampa. Depois do impacto não há perda de energia, então a energia cinética do conjunto logo após o pulo vira energia potencial na altura máxima h. Sendo V a velocidade do conjunto:

\frac{(m_1+m_2)V^2}{2}=(m_1+m_2)\,g\,h \;\Rightarrow\; V=\sqrt{2gh}

Etapa 2: o pulo no skate. O rapaz se junta ao skate, que estava parado. Na direção horizontal não há força externa, então a quantidade de movimento se conserva (a energia mecânica não, pois a colisão é inelástica). Sendo v a velocidade do rapaz antes de tocar o skate:

  1. Antes: Q_{antes}=m_1 v + m_2\cdot 0 = m_1 v
  2. Depois: Q_{depois}=(m_1+m_2)V
  3. Igualando: m_1 v=(m_1+m_2)\sqrt{2gh}
v=\frac{m_1+m_2}{m_1}\sqrt{2gh}

Essa expressão corresponde à alternativa D.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Adivide por m_2 em vez de m_1 e usa \sqrt{gh}, sem o fator 2 da energia.
  • Bcoloca 2m_1 no denominador e usa \sqrt{gh}, o que não sai da conservação da quantidade de movimento nem da energia.
  • Cinverte a razão de massas (m_1/m_2) e ignora que a massa total se move após a colisão.
  • Eo fator (2m_1+m_2) não aparece em nenhuma etapa e \sqrt{gh} omite o fator 2.

Assuntos: conservação da quantidade de movimento, conservação da energia mecânica, colisão inelástica.

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