Questão 90 da FUVEST 2017
Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:
em que t é medido em horas e V(t) é medido em \text{m}^3. A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0, 2] ocorre no instante
- At = 0{,}4
- Bt = 0{,}5
- Ct = 1
- Dt = 1{,}5
- Et = 2
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Resolução comentada
Numa transformação isotérmica de um gás ideal, vale a lei de Boyle: PV = \text{constante}. Logo, a pressão é inversamente proporcional ao volume, e a pressão é máxima quando o volume é mínimo.
É preciso, então, achar o menor valor de V(t) = \log_2(5 + 2\sen(\pi t)) em [0, 2].
- A base 2 é maior que 1, então o logaritmo é crescente. V é mínimo quando o logaritmando 5 + 2\sen(\pi t) é mínimo.
- Isso ocorre quando \sen(\pi t) = -1, e o logaritmando vale 5 - 2 = 3.
- Resolvendo: \sen(\pi t) = -1 \Rightarrow \pi t = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow t = \dfrac{3}{2} + 2k.
- No intervalo [0, 2], só serve k = 0, ou seja, t = 1{,}5.
Nesse instante, V = \log_2 3 \approx 1{,}58\ \text{m}^3 (o menor volume) e a pressão é máxima.
Conferindo: em t = 0{,}5 o seno vale 1 e o volume é máximo (\log_2 7), então a pressão é mínima. Em t = 0, 1 e 2 o seno é zero e V = \log_2 5, valor intermediário.
Alternativa D.
Pegadinha: A alternativa B engana quem associa pressão máxima ao volume máximo, esquecendo que pressão e volume são inversamente proporcionais.
Por que as outras alternativas estão erradas
- At=0{,}4 não é ponto de máximo nem de mínimo do seno; o volume ali não é o menor.
- BÉ o instante de volume máximo (\sen = 1), logo de pressão mínima, e não máxima.
- CEm t=1 o seno é zero e V=\log_2 5, valor intermediário.
- EEm t=2 o seno também é zero e V=\log_2 5, não é o menor volume.
Assuntos: lei de Boyle, função logarítmica, função seno.
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