Questão 86 da FUVEST 2017

1ª fase

Considere as funções f(x) = x^2 + 4 e g(x) = 1 + \log_{\frac{1}{2}} x, em que o domínio de f é o conjunto dos números reais e o domínio de g é o conjunto dos números reais maiores do que 0. Seja

h(x) = 3f(g(x)) + 2g(f(x)),

em que x > 0. Então, h(2) é igual a

  1. A
    4
  2. B
    8
  3. C
    12
  4. D
    16
  5. E
    20
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Resolução comentada

Precisamos calcular f(g(2)) e g(f(2)) separadamente e depois montar h(2).

1. Calcular g(2):

g(2) = 1 + \log_{\frac{1}{2}} 2. Como \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2, temos \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1. Logo, g(2) = 1 - 1 = 0.

2. Calcular f(g(2)):

f(g(2)) = f(0) = 0^2 + 4 = 4.

3. Calcular f(2):

f(2) = 2^2 + 4 = 8.

4. Calcular g(f(2)):

g(8) = 1 + \log_{\frac{1}{2}} 8. Como \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8, temos \log_{\frac{1}{2}} 8 = -3. Logo, g(8) = 1 - 3 = -2.

5. Montar h(2):

h(2) = 3 \cdot f(g(2)) + 2 \cdot g(f(2)) = 3 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = 12 - 4 = 8

Alternativa B.

Pegadinha: Logaritmo na base \frac{1}{2} dá valores negativos; quem troca o sinal obtém 20 (alternativa E).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACalcula só f(g(2))=4, ou erra o sinal e o valor do segundo termo.
  • CEsquece o termo 2g(f(2)) e fica só com 3\cdot 4=12.
  • DUsa \log_{1/2}8=+3 errando o sinal, obtendo g(8)=4 e 12+8=20 ou outra combinação incorreta.
  • EErra o sinal do logaritmo de base \frac{1}{2}: com g(8)=4 daria 12+8=20.

Assuntos: logaritmo, função composta.

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