Questão 80 da FUVEST 2017

1ª fase

Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores positivos de b. Constituem dois inteiros positivos equivalentes:

  1. A
    8 e 9.
  2. B
    9 e 11.
  3. C
    10 e 12.
  4. D
    15 e 20.
  5. E
    16 e 25.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Precisamos calcular a soma dos divisores positivos de cada número e ver qual par dá o mesmo valor.

Para p primo, a soma dos divisores de p^k é 1+p+\dots+p^k. Para números com fatores primos distintos, multiplicam-se as somas de cada fator.

  1. 8=2^3: 1+2+4+8=15. 9=3^2: 1+3+9=13. Diferentes.
  2. 9: 13. 11 (primo): 1+11=12. Diferentes.
  3. 10=2\cdot5: (1+2)(1+5)=18. 12=2^2\cdot3: (1+2+4)(1+3)=28. Diferentes.
  4. 15=3\cdot5: (1+3)(1+5)=24. 20=2^2\cdot5: (1+2+4)(1+5)=42. Diferentes.
  5. 16=2^4: 1+2+4+8+16=31. 25=5^2: 1+5+25=31. Iguais.

Logo, 16 e 25 são equivalentes.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA soma dos divisores de 8 é 15 e a de 9 é 13, portanto não são iguais.
  • BA soma dos divisores de 9 é 13 e a de 11 é 12, portanto não são iguais.
  • CA soma dos divisores de 10 é 18 e a de 12 é 28, portanto não são iguais.
  • DA soma dos divisores de 15 é 24 e a de 20 é 42, portanto não são iguais.

Assuntos: divisores de um número, soma dos divisores, números inteiros.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 80 no caderno da FUVEST 2017