Questão 64 da FUVEST 2017

Question

Reatores nucleares não são exclusivamente criações humanas. No período pré-cambriano, funcionou na região de Oklo, África, durante centenas de milhares de anos, um reator nuclear natural, tendo como combustível um isótopo do urânio.

Para que tal reator nuclear natural pudesse funcionar, seria necessário que a razão entre a quantidade do isótopo físsil (^{235}\text{U}) e a do urânio ^{238}\text{U} fosse cerca de 3\%. Esse é o enriquecimento utilizado na maioria dos reatores nucleares, refrigerados a água, desenvolvidos pelo homem.

O ^{235}\text{U} decai mais rapidamente que o ^{238}\text{U}; na Terra, atualmente, a fração do isótopo ^{235}\text{U}, em relação ao ^{238}\text{U}, é cerca de 0{,}7\%. Com base nessas informações e nos dados fornecidos, pode-se estimar que o reator natural tenha estado em operação há

Note e adote:
\text{M}(t) = \text{M}(0)\,10^{-\lambda t}; \text{M}(t) é a massa de um isótopo radioativo no instante t.
\lambda descreve a probabilidade de desintegração por unidade de tempo.
Para o ^{238}\text{U}, \lambda_{238} \approx 0{,}8 \times 10^{-10}\text{ ano}^{-1}.
Para o ^{235}\text{U}, \lambda_{235} \approx 4{,}0 \times 10^{-10}\text{ ano}^{-1}.
\log_{10} (0{,}23) \approx -0{,}64

A
1{,}2 \times 10^7\text{ anos.}
B
1{,}6 \times 10^8\text{ anos.}
C
2{,}0 \times 10^9\text{ anos.}
D
2{,}4 \times 10^{10}\text{ anos.}
E
2{,}8 \times 10^{11}\text{ anos.}

Answer 1

Questão 64 da FUVEST 2017

1ª fase

Reatores nucleares não são exclusivamente criações humanas. No período pré-cambriano, funcionou na região de Oklo, África, durante centenas de milhares de anos, um reator nuclear natural, tendo como combustível um isótopo do urânio.

Para que tal reator nuclear natural pudesse funcionar, seria necessário que a razão entre a quantidade do isótopo físsil (^{235}\text{U}) e a do urânio ^{238}\text{U} fosse cerca de 3\%. Esse é o enriquecimento utilizado na maioria dos reatores nucleares, refrigerados a água, desenvolvidos pelo homem.

O ^{235}\text{U} decai mais rapidamente que o ^{238}\text{U}; na Terra, atualmente, a fração do isótopo ^{235}\text{U}, em relação ao ^{238}\text{U}, é cerca de 0{,}7\%. Com base nessas informações e nos dados fornecidos, pode-se estimar que o reator natural tenha estado em operação há

Note e adote:
\text{M}(t) = \text{M}(0)\,10^{-\lambda t}; \text{M}(t) é a massa de um isótopo radioativo no instante t.
\lambda descreve a probabilidade de desintegração por unidade de tempo.
Para o ^{238}\text{U}, \lambda_{238} \approx 0{,}8 \times 10^{-10}\text{ ano}^{-1}.
Para o ^{235}\text{U}, \lambda_{235} \approx 4{,}0 \times 10^{-10}\text{ ano}^{-1}.
\log_{10} (0{,}23) \approx -0{,}64

A
1{,}2 \times 10^7\text{ anos.}
B
1{,}6 \times 10^8\text{ anos.}
C
2{,}0 \times 10^9\text{ anos.}
D
2{,}4 \times 10^{10}\text{ anos.}
E
2{,}8 \times 10^{11}\text{ anos.}

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Resolução comentada

A razão entre as massas dos isótopos muda com o tempo, porque cada um decai com sua própria constante. Chamando de R(t) a razão ^{235}\text{U}/^{238}\text{U}, temos:

R(t)=\frac{M_{235}(0)\,10^{-\lambda_{235}t}}{M_{238}(0)\,10^{-\lambda_{238}t}}=R(0)\,10^{-(\lambda_{235}-\lambda_{238})t}

No reator de Oklo, a razão era R(0)=3\%. Hoje, passado o tempo t, ela vale R(t)=0{,}7\%.

Diferença das constantes: \lambda_{235}-\lambda_{238}=4{,}0\times10^{-10}-0{,}8\times10^{-10}=3{,}2\times10^{-10}\ \text{ano}^{-1}.
Razão entre os valores: \dfrac{0{,}7}{3}\approx 0{,}23, então 0{,}23=10^{-3{,}2\times10^{-10}\,t}.
Aplicando \log_{10}: -0{,}64=-3{,}2\times10^{-10}\,t.
Resolvendo:

t=\frac{0{,}64}{3{,}2\times10^{-10}}=0{,}2\times10^{10}=2{,}0\times10^{9}\ \text{anos}

O reator funcionou há cerca de 2 bilhões de anos, o que é coerente com o período pré-cambriano.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AErra a potência de dez na divisão de 0{,}64 por 3{,}2\times10^{-10}, obtendo 10^7 em vez de 10^9.
BErra a potência de dez e o valor da divisão, não correspondendo a 0{,}64/(3{,}2\times10^{-10}).
DErra a potência de dez no resultado (obtém 10^{10} em vez de 10^9), além de o valor não bater com o cálculo.
EValor sem relação com o cálculo; resulta de erro grosseiro de potência de dez ou de uso incorreto das constantes.

Assuntos: decaimento radioativo, logaritmos, física nuclear.

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