Questão 9 da FUVEST 2016

1ª fase

Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

S = \frac{1}{2 \cdot \log_2 2016} + \frac{1}{5 \cdot \log_3 2016} + \frac{1}{10 \cdot \log_7 2016}

O valor de S é

  1. A
    \frac{1}{2}
  2. B
    \frac{1}{3}
  3. C
    \frac{1}{5}
  4. D
    \frac{1}{7}
  5. E
    \frac{1}{10}
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

A ideia é usar a mudança de base: \frac{1}{\log_b a} = \log_a b. Assim, cada parcela vira um logaritmo na base 2016.

  1. Primeira parcela: \frac{1}{2\log_2 2016} = \frac{1}{2}\log_{2016} 2 = \log_{2016} 2^{1/2}.
  2. Segunda parcela: \frac{1}{5\log_3 2016} = \frac{1}{5}\log_{2016} 3.
  3. Terceira parcela: \frac{1}{10\log_7 2016} = \frac{1}{10}\log_{2016} 7.

Como os três logaritmos têm a mesma base, somamos com a propriedade do produto:

S = \frac{1}{2}\log_{2016}2 + \frac{1}{5}\log_{2016}3 + \frac{1}{10}\log_{2016}7

Para enxergar o resultado, fatoramos 2016 = 2^5\cdot 3^2\cdot 7. Note que os coeficientes \frac12,\frac15,\frac1{10} não batem com os expoentes 5, 2, 1 diretamente. Colocamos \frac{1}{10} em evidência:

S = \frac{1}{10}\left(5\log_{2016}2 + 2\log_{2016}3 + \log_{2016}7\right)

Dentro dos parênteses:

5\log_{2016}2 + 2\log_{2016}3 + \log_{2016}7 = \log_{2016}(2^5\cdot 3^2\cdot 7) = \log_{2016}2016 = 1

Logo, S = \frac{1}{10}\cdot 1 = \frac{1}{10}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AToma só o coeficiente da primeira parcela, sem somar as demais corretamente.
  • BNão corresponde a nenhum passo correto; ignora a fatoração de 2016.
  • CUsa só o coeficiente da segunda parcela, sem perceber que a soma vale 1/10.
  • DToma o fator 7 isolado, sem fatorar corretamente 2016 nem usar a evidência de 1/10.

Assuntos: logaritmos, mudança de base, fatoração.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 9 no caderno da FUVEST 2016