Questão 9 da FUVEST 2016

Question

Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

S = \frac{1}{2 \cdot \log_2 2016} + \frac{1}{5 \cdot \log_3 2016} + \frac{1}{10 \cdot \log_7 2016}

O valor de S é

A
\frac{1}{2}
B
\frac{1}{3}
C
\frac{1}{5}
D
\frac{1}{7}
E
\frac{1}{10}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 da FUVEST 2016

1ª fase · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

S = \frac{1}{2 \cdot \log_2 2016} + \frac{1}{5 \cdot \log_3 2016} + \frac{1}{10 \cdot \log_7 2016}

O valor de S é

A
\frac{1}{2}
B
\frac{1}{3}
C
\frac{1}{5}
D
\frac{1}{7}
E
\frac{1}{10}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A ideia é usar a mudança de base: \frac{1}{\log_b a} = \log_a b. Assim, cada parcela vira um logaritmo na base 2016.

Primeira parcela: \frac{1}{2\log_2 2016} = \frac{1}{2}\log_{2016} 2 = \log_{2016} 2^{1/2}.
Segunda parcela: \frac{1}{5\log_3 2016} = \frac{1}{5}\log_{2016} 3.
Terceira parcela: \frac{1}{10\log_7 2016} = \frac{1}{10}\log_{2016} 7.

Como os três logaritmos têm a mesma base, somamos com a propriedade do produto:

S = \frac{1}{2}\log_{2016}2 + \frac{1}{5}\log_{2016}3 + \frac{1}{10}\log_{2016}7

Para enxergar o resultado, fatoramos 2016 = 2^5\cdot 3^2\cdot 7. Note que os coeficientes \frac12,\frac15,\frac1{10} não batem com os expoentes 5, 2, 1 diretamente. Colocamos \frac{1}{10} em evidência:

S = \frac{1}{10}\left(5\log_{2016}2 + 2\log_{2016}3 + \log_{2016}7\right)

Dentro dos parênteses:

5\log_{2016}2 + 2\log_{2016}3 + \log_{2016}7 = \log_{2016}(2^5\cdot 3^2\cdot 7) = \log_{2016}2016 = 1

Logo, S = \frac{1}{10}\cdot 1 = \frac{1}{10}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AToma só o coeficiente da primeira parcela, sem somar as demais corretamente.
BNão corresponde a nenhum passo correto; ignora a fatoração de 2016.
CUsa só o coeficiente da segunda parcela, sem perceber que a soma vale 1/10.
DToma o fator 7 isolado, sem fatorar corretamente 2016 nem usar a evidência de 1/10.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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