Questão 8 da FUVEST 2016

1ª fase

No quadrilátero plano ABCD, os ângulos A\widehat{B}C e A\widehat{D}C são retos, AB = AD = 1, BC = CD = 2 e \overline{BD} é uma diagonal. O cosseno do ângulo B\widehat{C}D vale

  1. A
    \frac{\sqrt{3}}{5}
  2. B
    \frac{2}{5}
  3. C
    \frac{3}{5}
  4. D
    \frac{2\sqrt{3}}{5}
  5. E
    \frac{4}{5}
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Resolução comentada

Como A\widehat{B}C = 90^\circ, o triângulo ABC é retângulo em B, com catetos AB = 1 e BC = 2. O mesmo vale para ADC, e os dois triângulos são congruentes. Assim, AC é a hipotenusa e BD é perpendicular a AC, pois AC é eixo de simetria do quadrilátero (uma pipa).

Passo a passo:

  1. Hipotenusa: AC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.
  2. Seja M o ponto em que AC corta BD. BM é a altura do triângulo ABC relativa à hipotenusa: BM = \dfrac{AB \cdot BC}{AC} = \dfrac{1\cdot 2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}.
  3. M é ponto médio de BD, então BD = \dfrac{4}{\sqrt{5}} e BD^2 = \dfrac{16}{5}.
  4. Lei dos cossenos no triângulo BCD, com BC = CD = 2:
BD^2 = 2^2 + 2^2 - 2\cdot 2\cdot 2\cos\theta
\frac{16}{5} = 8 - 8\cos\theta
8\cos\theta = 8 - \frac{16}{5} = \frac{24}{5} \Rightarrow \cos\theta = \frac{3}{5}

O cosseno de B\widehat{C}D vale \dfrac{3}{5}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as contas; não sai da lei dos cossenos com BD^2 = 16/5.
  • BErro de conta ao isolar \cos\theta na lei dos cossenos.
  • DMistura o raio \sqrt{3} de outros triângulos notáveis; não vem de BD^2 = 16/5.
  • EÉ o cosseno de metade do ângulo em outra relação (\cos de B\widehat{C}A), não de B\widehat{C}D.

Assuntos: lei dos cossenos, relações métricas no triângulo retângulo, quadriláteros.

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