Questão 10 da FUVEST 2016
Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por um ponto P na aresta \overline{AC}, passa o plano \alpha paralelo às arestas \overline{AB} e \overline{CD}. Dado que AP = 3, o quadrilátero determinado pelas interseções de \alpha com as arestas do tetraedro tem área igual a
- A21
- B\frac{21\sqrt{2}}{2}
- C30
- D\frac{30}{2}
- E\frac{30\sqrt{3}}{2}
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Resolução comentada
O plano \alpha é paralelo a AB e a CD. Ele corta as faces do tetraedro em segmentos paralelos a essas arestas, e o quadrilátero resultante é um paralelogramo.
Lados do quadrilátero. Seja P em AC, com AP=3 e PC=7.
- Na face ABC, o segmento que passa por P é paralelo a AB e encontra BC em Q. Por semelhança com o triângulo ABC, \dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{CP}{CA}=\dfrac{7}{10}, logo PQ=7.
- Na face ACD, o segmento que passa por P é paralelo a CD e encontra AD em S. Então \dfrac{PS}{CD}=\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{3}{10}, logo PS=3.
- Os outros dois lados são paralelos a esses, então o quadrilátero PQRS é um paralelogramo de lados 7 e 3.
Ângulo. As arestas opostas AB e CD de um tetraedro regular são ortogonais. Como os lados do paralelogramo são paralelos a AB e a CD, o ângulo entre eles é 90^\circ. Logo, o quadrilátero é um retângulo.
Área.
Para confirmar a ortogonalidade, seja M o ponto médio de CD. Então AM\perp CD e BM\perp CD, pois são alturas de triângulos equiláteros. Assim, CD é perpendicular ao plano ABM e, portanto, perpendicular a AB.
Alternativa A.
Por que as outras alternativas estão erradas
- Bmultiplica 21 por \sqrt2/2 como se o ângulo fosse de 45^\circ, mas os lados são perpendiculares.
- Cvalor sem relação com os lados 7 e 3; parece vir de 10\cdot 3.
- D30/2=15 não corresponde ao produto 7\cdot3.
- Eusa o fator \sqrt3/2 do triângulo equilátero, sem valer para um retângulo.
Assuntos: geometria espacial, tetraedro regular, semelhança de triângulos.
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