Questão 32 da FUVEST 2016

1ª fase

Uma moeda está no centro do fundo de uma caixa d’água cilíndrica de 0,87 m de altura e base circular com 1,0 m de diâmetro, totalmente preenchida com água, como esquematizado na figura.

Corte vertical de uma caixa d'água cilíndrica com uma moeda no centro do fundo. No canto superior direito, na borda da caixa, uma reta vertical pontilhada indica a normal e um feixe pontilhado vindo de um laser incide na borda formando um ângulo θ com a vertical.

Se um feixe de luz laser incidir em uma direção que passa pela borda da caixa, fazendo um ângulo \theta com a vertical, ele só poderá iluminar a moeda se

Note e adote:
Índice de refração da água: 1,4
n_1 \sen(\theta_1) = n_2 \sen(\theta_2)
\sen(20^\circ) = \cos(70^\circ) = 0{,}35
\sen(30^\circ) = \cos(60^\circ) = 0{,}50
\sen(45^\circ) = \cos(45^\circ) = 0{,}70
\sen(60^\circ) = \cos(30^\circ) = 0{,}87
\sen(70^\circ) = \cos(20^\circ) = 0{,}94

  1. A
    \theta = 20^\circ
  2. B
    \theta = 30^\circ
  3. C
    \theta = 45^\circ
  4. D
    \theta = 60^\circ
  5. E
    \theta = 70^\circ
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Resolução comentada

O feixe entra na água pela borda da caixa e se refrata. Para atingir a moeda, no centro do fundo, ele precisa percorrer na horizontal metade do diâmetro, 0{,}5\ \text{m}, enquanto desce a altura toda, 0{,}87\ \text{m}.

  1. O ângulo de refração \theta_2 é medido em relação à vertical (a normal):
\tg\theta_2 = \frac{0{,}5}{0{,}87} \approx 0{,}57

  1. Isso corresponde a \theta_2 = 30^\circ, pois \tg 30^\circ = \frac{\sen 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{0{,}50}{0{,}87}. Logo \sen\theta_2 = 0{,}50.

  2. Lei de Snell, com n_{ar}=1 e n_{água}=1{,}4:

1\cdot\sen\theta = 1{,}4\cdot 0{,}50 = 0{,}70
  1. Pela tabela, \sen\theta = 0{,}70 corresponde a \theta = 45^\circ.

Assim, só com incidência de 45^\circ o raio refratado chega exatamente ao centro do fundo, onde está a moeda.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana: 30^\circ é o ângulo de refração obtido pela geometria, mas a pergunta pede o ângulo de incidência \theta no ar.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A20^\circ daria \sen\theta_2=0{,}25, refratando para um ponto que não chega ao centro do fundo.
  • BUsa 30^\circ, que é o ângulo refratado, e não o de incidência no ar.
  • D60^\circ daria \sen\theta_2\approx0{,}62, levando o raio além do centro, batendo na parede ou no fundo fora da moeda.
  • E70^\circ daria \sen\theta_2\approx0{,}67, desviando demais o raio, que não atinge a moeda.

Assuntos: refração, lei de Snell.

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