Questão 33 da FUVEST 2016

Question

Uma gota de chuva se forma no alto de uma nuvem espessa. À medida que vai caindo dentro da nuvem, a massa da gota vai aumentando, e o incremento de massa \Delta m, em um pequeno intervalo de tempo \Delta t, pode ser aproximado pela expressão: \Delta m = \alpha\ v\ S\ \Delta t, em que \alpha é uma constante, v é a velocidade da gota, e S, a área de sua superfície. No sistema internacional de unidades (SI), a constante \alpha é

A
expressa em \text{kg.m}^3
B
expressa em \text{kg.m}^{-3}
C
expressa em \text{m}^3\text{.s.kg}^{-1}
D
expressa em \text{m}^3\text{.s}^{-1}
E
adimensional.

Answer 1

Questão 33 da FUVEST 2016

1ª fase

Uma gota de chuva se forma no alto de uma nuvem espessa. À medida que vai caindo dentro da nuvem, a massa da gota vai aumentando, e o incremento de massa \Delta m, em um pequeno intervalo de tempo \Delta t, pode ser aproximado pela expressão: \Delta m = \alpha\ v\ S\ \Delta t, em que \alpha é uma constante, v é a velocidade da gota, e S, a área de sua superfície. No sistema internacional de unidades (SI), a constante \alpha é

A
expressa em \text{kg.m}^3
B
expressa em \text{kg.m}^{-3}
C
expressa em \text{m}^3\text{.s.kg}^{-1}
D
expressa em \text{m}^3\text{.s}^{-1}
E
adimensional.

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Resolução comentada

Numa equação física, os dois lados precisam ter a mesma unidade. Por isso, isolamos \alpha e analisamos as unidades de cada grandeza no SI.

A expressão é \Delta m = \alpha\, v\, S\, \Delta t, então:

\alpha = \frac{\Delta m}{v\, S\, \Delta t}

Unidades de cada grandeza:

\Delta m (massa): \text{kg}
v (velocidade): \text{m/s}
S (área): \text{m}^2
\Delta t (tempo): \text{s}

Substituindo:

[\alpha] = \frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}}

O denominador fica \text{m}^3, porque \text{s}^{-1}\cdot\text{s}=1, e os metros se somam: \text{m}\cdot\text{m}^2=\text{m}^3. Logo:

[\alpha] = \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}

Essa é a unidade de densidade, o que faz sentido: \alpha lembra a densidade da água (ou das gotículas) na nuvem que a gota vai captando.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AColoca \text{m}^3 no numerador, invertendo o expoente do volume.
CInverte a razão entre massa e volume e inclui o segundo, que se cancela.
DIgnora a massa e mantém o segundo, que na verdade se cancela entre v e \Delta t.
E\Delta m tem unidade de massa e o produto v\,S\,\Delta t é volume, então \alpha não é adimensional.

Assuntos: análise dimensional, unidades do SI.

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