Questão 26 da FUVEST 2016

1ª fase

Um pêndulo simples, constituído por um fio de comprimento L e uma pequena esfera, é colocado em oscilação. Uma haste horizontal rígida é inserida perpendicularmente ao plano de oscilação desse pêndulo, interceptando o movimento do fio na metade do seu comprimento, quando ele está na direção vertical. A partir desse momento, o período do movimento da esfera é dado por

Note e adote:
A aceleração da gravidade é g.
Ignore a massa do fio.
O movimento oscilatório ocorre com ângulos pequenos.
O fio não adere à haste horizontal.
  1. A
    2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
  2. B
    2\pi \sqrt{\frac{L}{2g}}
  3. C
    \pi \sqrt{\frac{L}{g} + \frac{L}{2g}}
  4. D
    2\pi \sqrt{\frac{L}{g} + \frac{L}{2g}}
  5. E
    \pi \left(\sqrt{\frac{L}{g}} + \sqrt{\frac{L}{2g}}\right)
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

O período de um pêndulo simples (ângulos pequenos) é T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}, em que \ell é o comprimento do fio.

O movimento da esfera tem duas metades, cada uma com um comprimento de fio diferente:

  1. Lado sem a haste: o fio tem comprimento L. Esse trecho é meia oscilação, que dura metade do período:

    t_1 = \frac{1}{2}\,2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = \pi\sqrt{\frac{L}{g}}

  2. Lado com a haste: ao passar pela vertical, o fio encosta na haste e só a parte abaixo dela continua oscilando, com comprimento \dfrac{L}{2}. Essa é a outra meia oscilação:

    t_2 = \frac{1}{2}\,2\pi\sqrt{\frac{L/2}{g}} = \pi\sqrt{\frac{L}{2g}}

  3. Período total (ida e volta completas):

    T = t_1 + t_2 = \pi\left(\sqrt{\frac{L}{g}} + \sqrt{\frac{L}{2g}}\right)

Não dá para somar os comprimentos dentro de uma só raiz, porque a raiz da soma não é a soma das raízes. O correto é somar os tempos de cada meia oscilação.

Alternativa E.

Pegadinha: As alternativas C e D enganam quem soma L/g e L/2g dentro da mesma raiz; o certo é somar as raízes (tempos), como na E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora a haste e usa o período do pêndulo de comprimento L durante todo o movimento.
  • Busa só o comprimento L/2 para a oscilação inteira, esquecendo que metade do movimento ocorre com o fio todo.
  • Csoma os termos dentro da mesma raiz, em vez de somar os tempos das duas meias oscilações.
  • Dsoma os termos dentro da raiz e ainda mantém o fator 2\pi em vez de \pi.

Assuntos: pêndulo simples, período de oscilação.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 26 no caderno da FUVEST 2016