Questão 1 da FUVEST 2016

1ª fase

De 1869 até hoje, ocorreram as seguintes mudanças de moeda no Brasil: (1) em 1942, foi criado o cruzeiro, cada cruzeiro valendo mil réis; (2) em 1967, foi criado o cruzeiro novo, cada cruzeiro novo valendo mil cruzeiros; em 1970, o cruzeiro novo voltou a se chamar apenas cruzeiro; (3) em 1986, foi criado o cruzado, cada cruzado valendo mil cruzeiros; (4) em 1989, foi criado o cruzado novo, cada um valendo mil cruzados; em 1990, o cruzado novo passou a se chamar novamente cruzeiro; (5) em 1993, foi criado o cruzeiro real, cada um valendo mil cruzeiros; (6) em 1994, foi criado o real, cada um valendo 2.750 cruzeiros reais.

Quando morreu, em 1869, Brás Cubas possuía 300 contos. Se esse valor tivesse ficado até hoje em uma conta bancária, sem receber juros e sem pagar taxas, e se, a cada mudança de moeda, o depósito tivesse sido normalmente convertido para a nova moeda, o saldo hipotético dessa conta seria, aproximadamente, de um décimo de

Dados:
Um conto equivalia a um milhão de réis.
Um bilhão é igual a 10^9 e um trilhão é igual a 10^{12}.
  1. A
    real.
  2. B
    milésimo de real.
  3. C
    milionésimo de real.
  4. D
    bilionésimo de real.
  5. E
    trilionésimo de real.
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Resolução comentada

Primeiro, o valor inicial: 300 contos = 300 \times 10^6 = 3\times 10^8 réis.

Agora vamos convertendo a cada mudança de moeda (dividindo pelo fator de cada troca):

  1. Réis para cruzeiro (1942): divide por 10^3, ficando 3\times 10^5 cruzeiros.
  2. Cruzeiro novo (1967): divide por 10^3, ficando 3\times 10^2. Em 1970 só muda o nome, o valor não muda.
  3. Cruzado (1986): divide por 10^3, ficando 3\times 10^{-1}.
  4. Cruzado novo (1989): divide por 10^3, ficando 3\times 10^{-4}. Em 1990 só muda o nome.
  5. Cruzeiro real (1993): divide por 10^3, ficando 3\times 10^{-7}.
  6. Real (1994): divide por 2750.

No total, dividimos por 10^{15} (cinco trocas de fator mil) e depois por 2750:

\frac{3\times 10^{8}}{10^{15}\cdot 2750}=\frac{3\times 10^{-7}}{2{,}75\times 10^{3}}\approx 1{,}09\times 10^{-10}\ \text{real}

Como 10^{-9} real é um bilionésimo de real, o saldo é cerca de 1\times 10^{-10} = \dfrac{1}{10}\times 10^{-9}, ou seja, um décimo de bilionésimo de real.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que cada troca divide o valor por mil; o saldo é ínfimo, muito menor que 1 real.
  • BConsidera poucas conversões, resultando em ordem de grandeza de 10^{-4} real, muito maior que o correto.
  • CErra a quantidade de divisões por mil ou esquece o fator 2.750, chegando a ordem de 10^{-7} real.
  • EExagera a redução, chegando a ordem de 10^{-13} real, menor que o valor real de cerca de 10^{-10}.

Assuntos: potências de dez, notação científica, conversão de unidades monetárias.

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